展開公式1
♪♥ この教材は,高校数学の基本問題のうち,整式の展開公式1のバックアップファイルです.
♫♣ 元の教材が機器や通信トラブルで読めないときに,こちらを使ってください.なお,学習の記録は付いていません.
整式の展開公式1
【はじめに】
〇 このページの内容の内で[I]~[IV]は中学校3年の復習です.(重要だから高校数学Ⅰの教科書にも再度掲載される)
〇 [VI]~[IX]の3次式は高校数学で新たに登場する.
△ [前後の項目] 内容が難しいと感じるときは,中学3年の教材を先に読んでください.
▽ [前後の項目] 展開公式の応用問題は,別のページです.
▽ [前後の項目] 二項定理を用いる展開は,別のページです.
【主な内容】
 このページで扱う内容は,次の公式[I]~[IX]についての教科書レベルの解説と問題練習です.
[I]  (a+b)2=a2+2ab+b2
[II]  (a−b)2=a22ab+b2
[III]  (a+b)(a−b)=a2−b2
[IV]  (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
[V]  (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
[VI]  (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
[VII]  (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3
[VIII]  (a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3
[IX]  (a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3
※この教材は,単なる読み物ではなく,読者が入力すれば採点結果と解説が出ます.読んでいるだけでは,解説は出ません.

【教材の本文】
基本的な乗法公式(展開公式)
[I]  (a+b)2=a2+2ab+b2
[II]  (a−b)2=a22ab+b2
[III]  (a+b)(a−b)=a2−b2
[I]の例
(x+3)2=x2+2·x·3+32=x2+6x+9
(4x+1)2=(4x)2+2·(4x)·1+12=16x2+8x+1
x だけでなく,係数も2乗することを忘れないこと.
[II]の例
(x5)2=x22·x·5+52=x2−10x+25
(2x3y)2=(2x)22·(2x)·(3y)+(3y)2=4x2−12xy+9y2
x , y だけでなく,係数も2乗することを忘れないこと.
[III]の例
(x+6)(x6)=x262=x2−36
(2x+3y)(2x3y)=(2x)2(3y)2=4x2−9y2
x , y だけでなく,係数も2乗することを忘れないこと.
【簡単な確認テスト1】
 次の式に等しいものを選んでください.
(選択肢をクリックすれば,採点結果と解説が出ます.)
(1)
(2)
(3)

問題1 次の式を展開せよ.
(下の選択肢から正しいものをクリックすれば採点結果と解説が出ます)

(1) (x+5)2
(2) (3x−5)2
(3) (3x+5)(3x−5)

[IV]  (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
[V]  (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
[IV]の例
(x+2)(x+3)=x2+(2+3)x+2·3=x2+5x+6
和が x の係数で,積が定数項になる.(逆にする間違いが多い)
(x+4)(x7)=x2+{4+(−7)}x+{4·(−7)}=x2−3x−28
(x+4y)(x7y)
=x2+{4y+(−7y)}x+{4y·(−7y)}
=x2−3xy−28y2
前の式に y を付けただけと考えると後で困る.係数が 4y , −7y だと考えること.

[V]はバラバラにして集める「やりかた」が身に付いておればよく,結果を「覚える」必要はない.
(2x1)(x+3)=2x2+6x−x−3=2x2+5x−3
【簡単な確認テスト2】
 次の式に等しいものを選んでください.
(選択肢をクリックすれば,採点結果と解説が出ます.)
(1)
(2)
問題2 次の式を展開せよ.
(下の選択肢から正しいものを選べ)
(1) (x+5)(x+1)
(2) (x+7)(x−5)
(3) (x−3)(x−5)

(4) (x−2)(3x+1)
.
[VI]  (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
[VII]  (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3
[VIII] (a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3
ab の係数が−1のときのこの公式が使える.
ab の係数が−2のときは使えない.
[IX]  (a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3
ab の係数が1のときのこの公式が使える.
ab の係数が2のときは使えない.
※こじつけの覚え方:「1年生は2年生と仲が悪い,1年生と3年生は仲がよい」
[VI]の例
(x+1)3=x3+3·x2·1+3·x·12+13=x3+3x2+3x+1
(2x+3)3=(2x)3+3·(2x)2·3+3·(2x)·32+33
_______=8x3+36x2+54x+27
係数を2乗,3乗したものも係数に入ってくる.
[VII]の例
(2x1)3=(2x)33·(2x)2·1+3·(2x)·1213
_______=8x3−12x2+6x−1
[VIII][IX]の例
※そもそも,この公式は (a+b)3 とは「#全く関係ない#」ことに注意すること.
(x+1)(x2−x+1)=x3+1
見たらすぐ答え.特別な計算はいらない.
これを,x3+3x2+3x+1 などと変形してはいけない.
(2x−1)(4x2+2x+1)=8x3−1
見たらすぐ答え.特別な計算はいらない.
これを,8x3−12x2+6x−1 などと変形してはいけない.
(x+1)(x2+x+1)=
公式に当てはまっていない.気長にばらばらにするだけ.
x3+2x2+2x+1 になる.
(x−2)(x2+4x+4)=
公式に当てはまっていない.気長にばらばらにするだけ.
x3+2x2−4x−8 になる.
【簡単な確認テスト3】
 次の式に等しいものを選んでください.
(選択肢をクリックすれば,採点結果と解説が出ます.)
(1)
(2)
(3)
(4)
.
問題3 次の式を展開せよ.
(下の選択肢から正しいものを選べ.)
(1) (x+2)3
(2) (3x−2)3

(3) (x+2)(x2−2x+4)

(4) (x+1)(x2−2x+1)


■追加問題■
各自で計算用紙に答案を書き,[解説を見る]をクリックして答え合わせしてください.
(1) (x+3)2
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(2) (2a−3b)2
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(3) (−2x−3y)2
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(4) (−2a−3b)(−2a+3b)
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(5) (3x−4y)(4y+3x)
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(6) (ax−by)2
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(7) 
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(8) (−xy+z)(−xy−z)
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(9) (x+3y)(x−5y)
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(10) (2a−b)(2a+3b)
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(11) (2x−y)(x+3y)
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(12) (2xy−3z)(3xy+2z)
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(13) (a+2b)3
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(14) (4x−3y)3
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(15) 
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(16) 
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(17) (2a+3b)(4a2−6ab+9b2)
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(18) (2a+3b)(2a−3b)2
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このページの内容について,質問や間違いの指摘があるときは,下の「コメントを投稿」という文字をクリックしてください(↓↓)
(19) (2x−y)(4x2+4xy+y2)
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(20) (2x−y)(4x2+2xy+y2)
[解説を見る]

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