高校数学&#8544;&#12539;数と式

$a^2+ b^2$ $a^2+ ab+ b^2$ $a^2+ 2ab+ b^2$

$(a+ b)^2=a^2+ 2ab+ b^2$ になります …（答）

(2) $(a-b)^2$

$a^2-b^2$ $a^2-2ab+ b^2$ $a^2-2ab-b^2$

$(a-b)^2=a^2-2ab+ b^2$ になります …（答）

(3) $(a+ b)(a-b)$

$a^2-b^2$ $a^2-2ab+ b^2$ $a^2-ab+ b^2$

$(a+ b)(a-b)=a^2-b^2$ になります …（答）

問題1　次の式を展開せよ．
（下の選択肢から正しいものをクリックすれば採点結果と解説が出ます）

(1)　(x+5)2 解説

公式Ⅰを使って
(x+5)2=x2+2×x×5+52
=x2+10x+25
とします

x2+5x+10
x2+5x+25
x2+10x+10
x2+10x+25

(2)　(3x−5)2 解説

公式Ⅱを使って
(3x−5)2=(3x)2+2×(3x)×5+52
=9x2−30x+25
とします

9x2−15x+25
9x2−30x+25
9x2−15x−25
9x2−30x−25

(3)　(3x+5)(3x−5) 解説

公式Ⅲを使って
(3x+5)(3x−5)=(3x)2−52
=9x2−25
とします

3x2−5
3x2−25
9x2−10
9x2−25

[IV]　　(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
[V]　　(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd

[IV]の例

(x+2)(x+3)=x2+(2+3)x+2·3=x2+5x+6

和が x の係数で，積が定数項になる．（逆にする間違いが多い）

(x+4)(x−7)=x2+{4+(−7)}x+{4·(−7)}=x2−3x−28

(x+4y)(x−7y)
=x2+{4y+(−7y)}x+{4y·(−7y)}
=x2−3xy−28y2

前の式に y を付けただけと考えると後で困る．係数が 4y , −7y だと考えること．

[V]はバラバラにして集める「やりかた」が身に付いておればよく，結果を「覚える」必要はない．

(2x−1)(x+3)=2x2+6x−x−3=2x2+5x−3

【簡単な確認テスト2】
　次の式に等しいものを選んでください．
（選択肢をクリックすれば，採点結果と解説が出ます．）

(1) $(x+ a)(x+ b)$

$x^2+ (a+ b)x+ ab$ $a^2+ abx+ (a+ b)$ $x^2+ ab$

$(x+ a)(x+ b)=x^2+ (a+ b)x+ ab$ になります…（答）

(2) $(ax+ b)(cx+ d)$

$acx^2+ bd$ $acx^2+ (ad+ bc)x+ bd$

$acx^2+ (ab+ cd)x+ bd$

$(ax+ b)(cx+ d)=acx^2+ (ad+ bc)x+ bd$ になります …（答）

問題2　次の式を展開せよ．
（下の選択肢から正しいものを選べ）

(1)　(x+5)(x+1) 解説

公式Ⅳを使って
(x+5)(x+1)=x2+(5+1)x+5×1
=x2+6x+5
とします

x2+5x+6
x2+6x+5
2x+6
2x+5

(2)　(x+7)(x−5) 解説

公式Ⅳを使って
(x+7)(x−5)=x2+(7−5)x−7×5
=x2+2x−35
とします

x2+2x−35
x2−2x−35
x2+35x−2
x2−35x−2

(3)　(x−3)(x−5) 解説

公式Ⅳを使って
(x−3)(x−5)=x2+(−3−5)x+(−3)×(−5)
=x2−8x+15
とします

x2−15x+8
x2−15x+8
x2−8x+15
x2−8x−15

(4)　(x−2)(3x+1) 解説

公式Ⅴは覚えなくても高校は卒業できるし，複雑すぎて覚えるのは無理で，覚えるメリットもない
単にバラバラにして，１次の係数だけは集めるとよい
(x−2)(3x+1)=3x2+x−6x−2
=3x2−5x−2
とします

3x2+7x−2
3x2+5x−2
3x2−5x−2
3x2−5x+2

[VI]　　(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
[VII]　　(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3
[VIII]　(a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3

ab の係数が−1のときのこの公式が使える．
ab の係数が−2のときは使えない．

[IX]　　(a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3

ab の係数が1のときのこの公式が使える．
ab の係数が2のときは使えない．

※こじつけの覚え方：「１年生は２年生と仲が悪い，１年生と３年生は仲がよい」

[VI]の例

(x+1)3=x3+3·x2·1+3·x·12+13=x3+3x2+3x+1

(2x+3)3=(2x)3+3·(2x)2·3+3·(2x)·32+33
_______=8x3+36x2+54x+27

係数を２乗，３乗したものも係数に入ってくる．

[VII]の例

(2x−1)3=(2x)3−3·(2x)2·1+3·(2x)·12−13
_______=8x3−12x2+6x−1

[VIII][IX]の例
※そもそも，この公式は (a+b)3 とは「＃全く関係ない＃」ことに注意すること．

(x+1)(x2−x+1)=x3+1

見たらすぐ答え．特別な計算はいらない．
これを，x3+3x2+3x+1 などと変形してはいけない．

(2x−1)(4x2+2x+1)=8x3−1

見たらすぐ答え．特別な計算はいらない．
これを，8x3−12x2+6x−1 などと変形してはいけない．

(x+1)(x2+x+1)=

公式に当てはまっていない．気長にばらばらにするだけ．
x3+2x2+2x+1 になる．

(x−2)(x2+4x+4)=

公式に当てはまっていない．気長にばらばらにするだけ．
x3+2x2−4x−8 になる．

【簡単な確認テスト3】
　次の式に等しいものを選んでください．
（選択肢をクリックすれば，採点結果と解説が出ます．）

(1) $(a+ b)^3$

$a^3+ a^2b+ ab^2+ b^3$

$a^3+ 2a^2b+ 2ab^2+ b^3$

$a^3+ 3a^2b+ 3ab^2+ b^3$

$(a+ b)^3=a^3+ 3a^2b+ 3ab^2+ b^3$ になります…（答）

(2) $(a-b)^3$

$a^3-3a^2b+ 3ab^2-b^3$

$a^3+ 3a^2b-3ab^2-b^3$

$a^3-3a^2b-3ab^2-b^3$

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+ 3ab^2-b^3$ になります …（答）
（高校時代の友人は，この公式の符号をマイ.プラ.マイと覚えていたが，この教材の管理人は見た目で覚えたので，人様に言える覚え方はなかった）

(3) $(a+ b)(a^2-ab+ b^2)$

$a^3-b^3$ $a^3+ b^3$ $a^3-3a^2b+ 3ab^2-b^3$

$(a+ b)(a^2-ab+ b^2)=a^3+ b^3$ になります…（答）
「１年生は２年生と仲が悪い，１年生と３年生は仲がよい」

(4) $(a-b)(a^2+ ab+ b^2)$

$a^3-b^3$ $a^3+ b^3$ $a^3-3a^2b+ 3ab^2-b^3$

$(a-b)(a^2+ ab+ b^2)=a^3-b^3$ になります …（答）
「１年生は２年生と仲が悪い，１年生と３年生は仲がよい」

27x3−54x2+36x−8
27x3−54x2−36x−8
27x3−18x2+18x−8
27x3−18x2−18x−8

問題3　次の式を展開せよ．
（下の選択肢から正しいものを選べ．）

(1)　(x+2)3 解説

左の公式［VI］にa=x, b=2を当てはめると
(x+2)3=x3+3×x2×2+3×x×22+23
=x3+6x2+12x+8になります

x3+3x2+3x+8
x3+6x2+6x+8
x3+6x2+12x+8
x3+12x2+6x+8

(2)　(3x−2)3 解説

左の公式［VII］にa=3x, b=2を当てはめると
(3x−2)3
=(3x)3−3×(3x)2×2+3×(3x)×22−23
=27x3−54x2+36x−8になります

(3)　(x+2)(x2−2x+4)解説

左の公式［VIII］にa=x, b=2を当てはめると
左辺が(a+b)(a2−ab+b2)
→ (x+2)(x2−2x+4)となって問題の式と一致するから
直ちに公式［VIII］の右辺を答えにします
x3+8

x3−8
x3+6x2+8x+8
x3+8
x3−6x2+8x−8

(4)　(x+1)(x2−2x+1)解説

この問題ではxの係数が−2となっているために，公式［VI］の左辺にも，［VIII］の左辺にも当てはまりません
(x+1)(x2−x+1)でなく
(x+1)(x2−2x+1) になっている
したがって,単純にバラバラに展開する他ありません
(x+1)(x2−2x+1)
=(x3−2x2+x)+(x2−2x+1)
=x3−x2−x+1

x3+1
x3+x2+x+1
x3−1
x3−x2−x+1

■追加問題■
各自で計算用紙に答案を書き，［解説を見る］をクリックして答え合わせしてください．

(1)　(x+3)2

(x+3)2=x2+2×3×x+32
=x2+6x+9･･･（答）
→解説を隠す←

(2)　(2a−3b)2

(2a−3b)2=(2a)2−2×(2a)×(3b)+(3b)2
=4a2−12ab+9b2･･･（答）
→解説を隠す←

(3)　(−2x−3y)2

(−2x−3y)2=(−2x)2+2×(−2x)×(−3y)+(−3y)2
=4x2+12xy+9y2･･･（答）
（別解）
(−2x−3y)2={−(2x+3y)}2=(2x)2+2×(2x)×(3y)+(3y)2
=4x2+12xy+9y2･･･（答）
→解説を隠す←

(4)　(−2a−3b)(−2a+3b)

{(−2a)−(3b)}{(−2a)+(3b)}=(−2a)2−(3b)2
=4a2−9b2･･･（答）
（別解）
各カッコ内に各々−1を掛ける（全体では1を掛けることになり等しい変形）
(−2a−3b)(−2a+3b)=(2a+3b)(2a−3b)
=(2a)2−(3b)2=4a2−9b2･･･（答）
→解説を隠す←

(5)　(3x−4y)(4y+3x)

(3x−4y)(4y+3x)=(3x−4y)(3x+4y)
=(3x)2−(4y)2=9x2−16y2･･･（答）
→解説を隠す←

(6)　(ax−by)2

(ax−by)2=(ax)2−2×(ax)×(by)+(by)2
=a2x2−2abxy+b2y2･･･（答）
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(7)　 $(a+\frac{1}{a})^2$

$(a+\frac{1}{a})^2=a^2+ 2\times a\times\frac{1}{a}+(\frac{1}{a})^2$
$=a^2+ 2+\frac{1}{a^2}$ ･･･（答）
→解説を隠す←

(8)　(−xy+z)(−xy−z)

各カッコ内に各々−1を掛ける（全体では1を掛けることになり等しい変形）
(−xy+z)(−xy−z)=(xy−z)(xy+z)
=(xy)2−z2=x2y2−z2･･･（答）
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(9)　(x+3y)(x−5y)

(x+3y)(x−5y)=x2+(3y−5y)x+(3y)×(−5y)
=x2−2xy−15y2･･･（答）
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(10)　(2a−b)(2a+3b)

(2a−b)(2a+3b)=(2a)2+(−b+3b)×(2a)+(−b)×(3b)
=4a2+4ab−3b2･･･（答）
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(11)　(2x−y)(x+3y)

公式[V]　(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
は，バラバラにすればよく，結果を「覚える」必要はない．
(2x−y)(x+3y)=2x2+6xy−xy−3y2
=2x2+5xy−3y2･･･（答）
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(12)　(2xy−3z)(3xy+2z)

(2xy−3z)(3xy+2z)=6x2y2+4xyz−9xyz−6z2
=6x2y2−5xyz−6z2･･･（答）
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(13)　(a+2b)3

(a+2b)3=a3+3a2×(2b)+3a×(2b)2+(2b)3
=a3+6a2b+12ab2+8b3･･･（答）
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(14)　(4x−3y)3

(4x−3y)3=(4x)3−3×(4x)2×(3y)+3×4x×(3y)2−(3y)3
=64x3−144x2y+108xy2−27y3･･･（答）
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(15)　 $(2a+\frac{1}{a})^3$

$(2a+\frac{1}{a})^3=(2a)^3+ 3\times(2a)^2\times\frac{1}{a}+ 3\times(2a)\times(\frac{1}{a})^2+(\frac{1}{a})^3$
$=8a^3+ 12a+\frac{6}{a}+\frac{1}{a^3}$ ･･･（答）
→解説を隠す←

(16)　 $(2x-\frac{1}{3y})^3$

$(2x-\frac{1}{3y})^3=(2x)^3-3\times(2x)^2\times\frac{1}{3y}+ 3\times(2x)\times(\frac{1}{3y})^2-(\frac{1}{3y})^3$
$=8x^3-\frac{4x^2}{y}+\frac{2x}{3y^2}-\frac{1}{27y^3}$ ･･･（答）
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(17)　(2a+3b)(4a2−6ab+9b2)

(2a+3b){(2a)2−(2a)×(3b)+(3b)2}
の形になっているから
(2a)3+(3b)3=8a3+27b3･･･（答）
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(18)　(2a+3b)(2a−3b)2

すぐに使える公式はないから，少しずつ展開する
(2a+3b)(2a−3b)×(2a−3b)=(4a2−9b2)(2a−3b)
=8a3−12a2b−18ab2+27b3･･･（答）
→解説を隠す←

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(19)　(2x−y)(4x2+4xy+y2)

(2x−y){(2x)2+2×(2x)×(y)+(y)2}
の形になっており，公式Ⅸと合わないから，バラバラにする
8x3+4x2y−2xy2−y3･･･（答）
→解説を隠す←

(20)　(2x−y)(4x2+2xy+y2)