♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，いろいろな因数分解のバックアップファイルです． ♫♣ 元の教材が機器や通信トラブルで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません． 【目次】 • 数と式 • 指数法則 • 展開公式Ⅰ • 展開公式2 • 置き換えによる展開 • 展開の順序 • 展開公式の応用問題 • ２次式の因数分解 • 次数最低の文字で整理 • たすき掛け因数分解 • いろいろな因数分解 • ３次以上の因数分解 • 因数分解（応用問題） • 因数分解の入試問題 == いろいろな因数分解 == 【問題１】　次の各式を因数分解してください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック） (1) a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca 解説 やり直す (a+b+c)2 (a−b+c)2 (a+b−c)2 (a−b−c)2 １つの文字，例えばaについて整理すると， a2+(2b+2c)a+(b2+2bc+c2) =a2+2(b+c)a+(b+c)2 b+c=Xとおくと (原式)=a2+2Xa+X2 =(a+X)2 元のb+cに戻すと (原式)=(a+b+c)2 …（答） →閉じる←

(2) a2+b2+c2−2ab−2bc+2ca 解説 やり直す (−a+b+c)2 (a−b+c)2 (a+b−c)2 (a−b−c)2 上記以外 １つの文字，例えばaについて整理すると， a2+(−2b+2c)a+(b2−2bc+c2) =a2+2(c−b)a+(c−b)2 c−b=Xとおくと (原式)=a2+2Xa+X2 =(a+X)2 元のc−bに戻すと (原式)=(a+c−b)2=(a−b+c)2 …（答） （別解） 展開公式の方から見ると (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca において，左辺のbの符号を変えると，右辺のbも符号が変わる（ただし，(−b)2=b2は２回変わって元のまま） (a−b+c)2=a2+b2+c2−2ab−2bc+2ca これを右辺から左辺に因数分解として読むと a2+b2+c2−2ab−2bc+2ca=(a−b+c)2…（答） ※なお，解答欄の選択肢の中で１番目と４番目は同じ式です． →閉じる←

(3) a2+b2+c2−2ab+2bc−2ca 解説 やり直す (a−b+c)2 (a+b−c)2 (a−b−c)2 (−a−b−c)2 上記以外 １つの文字，例えばaについて整理すると， a2+(−2b−2c)a+(b2+2bc+c2) =a2−2(b+c)a+(b+c)2 b+c=Xとおくと (原式)=a2−2Xa+X2 =(a−X)2 元のb+cに戻すと (原式)=(a−b−c)2 …（答） （別解） 展開公式の方から見ると (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca において，左辺のaの符号を変えると，右辺のaも符号が変わる（ただし，(−a)2=a2は２回変わって元のまま） (−a+b+c)2=a2+b2+c2−2ab+2bc−2ca これを右辺から左辺に因数分解として読むと a2+b2+c2−2ab+2bc−2ca=(a−b−c)2…（答） ※なお，(a−b−c)2と(−a+b+c)2は同じ式です．また，(−a−b−c)2と(a+b+c)2も同じ式です． →閉じる←

(4) a2+b2+c2−2ab−2bc−2ca 解説 やり直す (a−b+c)2 (a+b−c)2 (a−b−c)2 (−a−b−c)2 上記以外 １つの文字，例えばaについて整理すると， a2+(−2b−2c)a+(b2−2bc+c2) =a2−2(b+c)a+(b−c)2 積が(b−c)2で，和が−2(b+c)となる式は（有理係数の範囲では）見つからないので，この式は２乗の形にはなりません． 「上記以外」…（答） （別解） (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca (a−b+c)2=a2+b2+c2−2ab−2bc+2ca (a+b−c)2=a2+b2+c2+2ab−2bc−2ca (a−b−c)2=a2+b2+c2−2ab+2bc−2ca (−a+b+c)2は(a−b−c)2と同じ (−a−b−c)2は(a+b+c)2と同じ ※以上により，これらの２乗の中にa2+b2+c2−2ab−2bc−2caとなるものはない． ※無理式まで使えば と書けるが，これは上記の選択肢の中にはない →閉じる←

【問題２】　次の各式を因数分解してください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック） (1) a2+2ab+b2−c2 解説 やり直す (a+b+c)(a−b+c) (a+b+c)(a+b−c) (a−b+c)(a+b−c) (a−b+c)(a−b−c) 上記以外 (a+b)2−c2=(a+b+c)(a+b−c) …（答） →閉じる←

(2) a2−2ab+b2−c2 解説 やり直す (a+b+c)(a−b+c) (a+b+c)(a+b−c) (a−b+c)(a+b−c) (a−b+c)(a−b−c) 上記以外 (a−b)2−c2=(a−b+c)(a−b−c) …（答） →閉じる←

(3) a2+2ac−b2+c2 解説 やり直す (a+b+c)(a−b+c) (a+b+c)(a+b−c) (a−b+c)(a+b−c) (a−b+c)(a−b−c) 上記以外 (a+c)2−b2=(a+c+b)(a+c−b) =(a+b+c)(a−b+c)…（答） →閉じる←

(4) (a+b+c)2−(a−b+c)2 解説 やり直す 4a(b+c) 4b(c+a) 4(a+b)(a+c) 4(a+c)(b+c) 上記以外 a+b+c=X, a−b+c=Yとおくと （原式）=X2−Y2=(X+Y)(X−Y) =(a+b+c+a−b+c)(a+b+c−a+b−c) =(2a+2c)(2b)=4b(a+c) …（答） →閉じる←

【問題３】　次の各式を因数分解してください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック） (1) x4+x2+1 解説 やり直す (x2+1)2 (x2+x+1)(x2−x+1) (x2+x+1)(x2+x−1) (x2+x+1)(x2−x−1) 上記以外 ○2−□2の形を作ります x4+x2+1=(x2+1)2−x2 =(x2+x+1)(x2−x+1)…（答） ※２次式の因数分解として，特に断りがなければ有理係数（分数係数）の範囲まで因数分解します．この問題では，２つの２次式を因数分解すると，どちらも虚数の係数が登場するので，通常はここまでで止めます →閉じる←

(2) x4−3x2+1 解説 やり直す (x2+x−1)(x2−x+1) (x2+x+1)(x2−x−1) (x2+x−1)(x2−x−1) (x2−x+1)(x2−x−1) 上記以外 ○2−□2の形を作ります x4−3x2+1=(x2−1)2−x2 =(x2+x−1)(x2−x−1) …（答） ※２次式の因数分解として，特に断りがなければ有理係数（分数係数）の範囲まで因数分解します．この問題では，２つの２次式を因数分解すると，どちらも無理数の係数が登場するので，通常はここまでで止めます →閉じる←

(3) x4−10x2+9 解説 やり直す (x2−3)2 (x2+2x−3)(x2−2x−3) (x2−1)(x2−9) (x+1)(x−1)(x+3)(x−3) 上記以外 複２次式の因数分解としてx2=Xとおきます x4−10x2+9=X2−10X+9 =(X−1)(X−9) 元のxに戻します (x2−1)(x2−9) ２次式の因数分解として，行けるところまで行きます（特に断りがなければ有理係数（分数係数）の範囲まで） (x+1)(x−1)(x+3)(x−3)…（答） （別解） ○2−□2の形を作ります x4−10x2+9=(x2−3)2−4x2 =(x2+2x−3)(x2−2x−3) ２次式の因数分解として，行けるところまで行きます（特に断りがなければ有理係数（分数係数）の範囲まで） (x+3)(x−1)(x+1)(x−3)…（答） →閉じる← このページの内容について，質問や間違いの指摘があるときは，下の「コメントを投稿」という文字をクリックしてください（↓↓）

(4) x4−x2−12 解説 やり直す (x2−3)(x2+4) (x−2)(x+2)(x2+3) (x2−4)(x2+3) (x+2)(x−2)(x+3)(x−3) 上記以外 複２次式の因数分解としてx2=Xとおきます x4−x2−12=X2−X−12 =(X−4)(X+3) 元のxに戻します (x2−4)(x2+3) x2−4は有理係数で因数分解できますが， x2+3を因数分解すると虚数係数になるので，こちらはここまでで止めます． (x−2)(x+2)(x2+3)…（答） →閉じる←