展開の順序 《解説》

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，展開の順序のバックアップファイルです． ♫♣ 元の教材が機器や通信トラブルで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません． 【目次】 • 数と式 • 指数法則 • 展開公式Ⅰ • 展開公式2 • 置き換えによる展開 • 展開の順序 • 展開公式の応用問題 • ２次式の因数分解 • 次数最低の文字で整理 • たすき掛け因数分解 • いろいろな因数分解 • ３次以上の因数分解 • 因数分解（応用問題） • 因数分解の入試問題

■１ 　右の式の展開は，まず(1)の展開を行い，次に(2)の展開を行うと，簡単に行えます． (1)により，(与式)＝(ｘ２－４ｙ２)(ｘ２＋４ｙ２) (2)により，(与式)＝ｘ４－16ｙ４・・・(答) 　右の式も，(1)→(2)→(3)の順に行うと簡単に展開できます．・・・最も不公平なトーナメント (与式)＝(ｘ２－１)(ｘ２＋１)(ｘ４＋１) ＝(ｘ４－１)(ｘ４＋１) ＝ｘ８－１・・・(答) 　右の式も，同様です． (与式)＝(ｘ３－１)(ｘ３＋１) ＝ｘ６－１・・・(答) ■２ 　右のような式は，ｘ２＋２ｘ＝Ａと置きかえることにより，簡単な展開となります： (Ａ－３)(Ａ－８)＝Ａ２－１１Ａ＋２４ ＝(ｘ２＋２ｘ)２－１１（ｘ２＋２ｘ）＋２４ ＝ｘ４＋４ｘ３－７ｘ２－２２ｘ＋２４・・・(答) 　このように，同じ式が２回以上登場するときは＝Ａとおくことにより，展開が簡単となりますが，初めから同じ式がある場合だけでなく，組合せにより同じ式を作ることができる場合もあります． (ｘ２＋２ｘ－３)(ｘ２＋２ｘ－８) 《要点》 同じ式がある　→　使う 同じ式がない　→　作る(できることがある) 　右の式は，(1)(2)の組合せを考えることにより，ｘ２＋６ｘ＝Ａとおくことができて， (ｘ２＋６ｘ－７)(ｘ２＋６ｘ－２７) ＝(Ａ－７)(Ａ－２７)＝Ａ２－３４Ａ＋１８９ ＝(ｘ２＋６ｘ)２－３４(ｘ２＋６ｘ)＋１８９ ＝ｘ４＋１２ｘ３＋２ｘ２－２０４ｘ＋１８９　となります．　 　同様にして，右の式は (ｘ＋１)(ｘ＋４)＝ｘ２＋５ｘ＋４ (ｘ＋２)(ｘ＋３)＝ｘ２＋５ｘ＋６　により，ｘ２＋５ｘ＝Ａとおけば(Ａ＋４)(Ａ＋６)＝Ａ２＋１０Ａ＋２４ ＝(ｘ２＋５ｘ)２＋１０(ｘ２＋５ｘ)＋２４ ＝ｘ４＋１０ｘ３＋３５ｘ２＋５０ｘ＋２４　となります． (ｘ＋１)(ｘ＋２)(ｘ＋３)(ｘ＋４) 　右の式は (ｘ－２)(ｘ＋２)＝ｘ２－４ (ｘ－１)(ｘ＋４)＝ｘ２－４＋３ｘ　により，ｘ２－４＝Ａとおけば Ａ（Ａ＋３ｘ）＝Ａ２＋３ｘＡ＝(ｘ２－４)２＋３ｘ(ｘ２－４） ＝ｘ４＋３ｘ３－８ｘ２－１２ｘ＋１６　となります． (ｘ－２)(ｘ－１)(ｘ＋２)(ｘ＋４) ■３ 　右の式は｛(ｘ＋１)（ｘ－１）｝２ とすれば，（ｘ２－１）２＝ｘ４－２ｘ２＋１となります． (ｘ＋１)２(ｘ－１)２ 　同様にして，右の式は （ｘ２－１）３＝ｘ６－３ｘ４＋３ｘ２－１となります． (ｘ＋１)３(ｘ－１)３

【問題１】　次の各式を展開してください．（選択肢の中から正しいものをクリック） (1) (x−1)3(x+1)3 解説 やり直す x3−3x2+3x−1 x6−1 x6−3x4+3x2−1 x8−1 ××初めに３乗してしまうと，後で組み合わせるのが大変です． (x3−3x2+3x−1)(x3+3x2+3x+1) → ??? ◎(x−1)(x+1)=(x2−1)を３乗します { (x−1)(x+1) }3={x2−1}3 =x6−3x4+3x2−1…（答） →閉じる←

(2) (x−1)2(x+1)2(x2+1)2 解説 やり直す x8+1 x8+2x4+1 x8−1 x8−2x4+1 ××初めに２乗してしまうと，後で組み合わせるのが大変です． (x2−2x+1)(x2+2x+1)(x4+2x2+1) → ??? ◎(x−1)(x+1)=x2−1 (x2−1)(x2+1)=x4−1 にしてから２乗します { (x−1)(x+1)(x2+1) }2={ (x2−1)(x2+1)}2 ={ x4−1}2=x8−2x4+1…（答） →閉じる←

(3) (x−1)(x+1)(x2−x+1)(x2+x+1) 解説 やり直す x6+1 x6+2x3+1 x6−1 x6−2x3+1 ◎簡単になる組合せを先に作ります (x−1)(x2+x+1)=x3−1 (x+1)(x2−x+1)=x3+1 これらを掛けます (x3−1)(x3+1)=x6−1…（答） →閉じる←

(4) (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) 解説 やり直す x4−8x3−37x2+212x+672 x4+2x3−19x2−4x+4 x4+16x3+86x2+176x+105 x4−2x2+1 同じ項が出てくるように，組合せを考えます． (x+1)(x+7)(x+3)(x+5)=(x2+8x+7)(x2+8x+15) =(x2+8x)2+22(x2+8x)+105) =x4+16x3+64x2+22x2+176x+105 =x4+16x3+86x2+176x+105…（答） →閉じる←

(5) (x−1)(x+2)(x+3)(x−6) 解説 やり直す x4−2x3−23x2−12x+36 x4+2x3−19x2−4x+4 x4−8x3−37x2+212x+672 x4−2x3+19x2+4x−4 ２次の項と定数項に同じ式が出てくるように，組合せを考えます． (x+2)(x+3)(x−1)(x−6)=(x2+5x+6)(x2−7x+6) (x2+6+5x)(x2+6−7x)=(x2+6)2−2x(x2+6)−35x2 =x4+12x2+36−2x3−12x−35x2 =x4−2x3−23x2−12x+36…（答） →閉じる← このページの内容について，質問や間違いの指摘があるときは，下の「コメントを投稿」という文字をクリックしてください（↓↓）

(6) (x+3)(x−7)(x−8)(x+4) 解説 やり直す x4+6x3−59x2−204x+1120 x4+12x3+1x2−138x+112 x4+10x3−13x2−190x+336 x4−8x3−37x2+212x+672 同じ式が出てくるように，組合せを考えます． (x+3)(x−7)(x−8)(x+4) =(x2−4x−21)(x2−4x−32) =(x2−4x)2−53(x2−4x)+672) =x4−8x3+16x2−53x2+212x+672 =x4−8x3−37x2+212x+672 …（答） →閉じる←