♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，因数分解（応用問題）のバックアップファイルです． ♫♣ 元の教材が機器や通信トラブルで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません． 【目次】 • 数と式 • 指数法則 • 展開公式Ⅰ • 展開公式2 • 置き換えによる展開 • 展開の順序 • 展開公式の応用問題 • ２次式の因数分解 • 次数最低の文字で整理 • たすき掛け因数分解 • いろいろな因数分解 • ３次以上の因数分解 • 因数分解（応用問題） • 因数分解の入試問題 == 因数分解（応用問題） == この頁では因数分解の応用問題として次の４つの項目の解説があります．それぞれのタイトルをクリックするとその項目にジャンプできます． (1) 次数が低い文字について整理する (2) 置き換えを利用して因数分解する (3) ３次式の因数分解公式を利用する (4) ○2−□2の形に持ち込む (1) 次数が低い文字について整理する 「次数が低い文字について整理する」とは，次数の低い１つの文字（次数が最低の文字）に着目して，その文字だけを文字とみなし他の文字を係数（定数）とみなすということです． 誰がやっても 「１次式の因数分解は２次式の因数分解よりも簡単」 「２次式の因数分解は３次式の因数分解よりも簡単」「･･･」 というように，次数が低い因数分解の方が有利になるのです． １次式の因数分解なんかあるのか？と思われるかもしれませんが，厳密な言い方は別として，１次式については次の「共通因数でくくる」という変形があります． ax+bx=(a+b)x １次式の因数分解はこれだけなので，ある文字について整理すると１次式になったら「しめた！共通因数の話だ！」と考えればよいことになります． 【例1.1】　次の式を因数分解してください． ax+bx+a2−b2 （解説） aの式だとみなすとax+bx+a2−b2となって最高次の項は２次になります． bの式だとみなすとax+bx+a2−b2となって最高次の項は２次になります． xの式だとみなすとax+bx+a2−b2となって最高次の項は１次になります． そこで，次数が最低になる文字xについて整理すると有利だということになります．xだけを文字と考え，他の文字は係数とみなすと (ax+bx)+(a2−b2)･･･左のかっこは１次，右のかっこは定数 １次式の因数分解は，共通因数でくくる変形があるだけですから，共通因数を考えます． (a+b)x+(a+b)(a−b) =(a+b)(x+a−b)…（答） この問題をaについて整理しても間違いではありませんが，２次式の因数分解になるので次のようにやや複雑になります． ax+bx+a2−b2 =a2+xa−b2+bx この２次式を因数分解するには，積が−b2+bxになるものうちで，和がxになるもの○と□を探して (a+○)(a+□) の形にします． ところで，積が−b2+bxになるものは何かというと，それは全体の大きな因数分解をしている中で，定数項−b2+bxを２つの式の積に分けるということで，それは−b2+bxをあらかじめ因数分解しておくということです． −b2+bx=b(x−b) ここで，b+(x−b)=xとなって和がxになっています． 結局 a2+xa−b2+bx =a2+xa+b(x−b) =(a+b)(a+x−b)…（答）

【問題１】　次の各式を因数分解したとき空欄に入る式を下の選択肢から選んでください．（正しいものをクリック） （※暗算ではできません．各自計算用紙で計算してから選択肢を選んでください） (1) x2+2xy−3x−4y+2=ア(2y+x−1) 解説 やり直す x x+2 x−2 y y+2 y−2 文字xについては２次式，文字yについては１次式になるので，yについて整理すると計算が楽になります． （左辺）=(2x−4)y+(x2−3x+2) =2(x−2)y+(x−1)(x−2) 共通因数x−2でくくると =(x−2)(2y+x−1) →閉じる← (2) a2−2b2−ab+bc+ac−a+2b−c=イ(c+a−2b) 解説 やり直す a+b+1 a+b−1 a−b+1 a−b−1 文字a, bについては２次式，文字cについては１次式になるので，cについて整理すると計算が楽になります． （左辺）=(a+b−1)c+(a2−2b2−ab−a+2b) 共通因数を探すためには定数項a2−2b2−ab−a+2bをあらかじめ因数分解しておく必要がありますが，この式はaについてもbについても２次式なので，どちらで整理しても難しさは同じです．（aについて整理する） a2+(−b−1)a−(2b2−2b) =a2+(−b−1)a−2b(b−1) 積が−2b(b−1)になるものは，−2b, b−1の組と2b, −b+1の組があるが，そのうちで和が−b−1になるのは−2b, b−1の組 a2+(−b−1)a−(2b2−2b)=(a−2b)(a+b−1) （原式）=(a+b−1)c+(a−2b)(a+b−1) 共通因数a+b−1でくくると =(a+b−1)(c+a−2b) →閉じる← (3) abx2−(a2+b2)x+ab=ウ(bx−a) 解説 やり直す ax+b ax−b bx+a bx−a 文字a, b, xのどの文字について整理しても２次式なるので，このままxについて整理する． （左辺）=(ab)x2+(−a2−b2)x+ab x2の係数abを２つの式の積に分けるには，aとbの組，abと1の組がある． 符号を全部入れ換えたものは別の因数分解にはならない．例えば(2x+3)(x−4)と(−2x−3)(−x+4)は同じものだから，x2の係数を両方とも負にしたものは考える必要はない．（定数も変わるだけ） また，順序を入れ換えたものは別の因数分解にならない．例えば(2x+3)(x−4)と(x−4)(2x+3)は同じものだから，2, 1組を考えたら1, 2組を考える必要はない． このようにして積がabとなる２つの数はa,bの組，ab,1の組だけを調べたらよい． 定数項もabを２つの式の積に分けるには，aとbの組，abと1の組がある． これらの組合せをたすき掛け因数分解で考えると，右図の組でxの１次の係数が一致する． この図は(ax−b)(bx−a)の省略であるから (ax−b)(bx−a)…（答） →閉じる← (4) (a−b)(c−b)(c+a)−abc=エ(ca−ab−bc) 解説 やり直す a+b+c a+b−c a−b+c a−b−c ※左辺を見て「きれいな掛け算の形をしているから」もうすでに因数分解できているのではないかと考えている人は理解不十分です．因数分解は「一番大きな区切りが積の形になっていなければならない」のに対して，この問題の左辺は (a−b)(c−b)(c+a)−abc という形で「一番大きな区切りが引き算」になっているので，まだ因数分解はできていません． ではどうやって因数分解するのかというと，まず展開して式の整理から始めるしかないのです． 文字a, b, cのどの文字について整理しても２次式になるので，aについて展開して整理する． (a−b)(c−b)(c+a)−abc=(c−b)(a−b)(a+c)−bca =(c−b)(a2+(c−b)a−bc)−bca =(c−b)a2+(c−b)2a−bc(c−b)−bca =(c−b)a2+{(c−b)2−bc}a−bc(c−b) a2の係数c−bを２つの式の積に分けるには，c−bと1の組だけです．また，定数項−bc(c−b)を２つの式の積に分けるには，−bc ,c−b組，bc ,−(c−b)組などがある． これらの組合せの内で，aの1次の係数が(c−b)2−bcになるものをたすき掛け因数分解で考えると，右図のようになる． この図は((c−b)a−bc)(a+(c−b))の省略であるから (ca−ab−bc)(a−b+c)…（答） →閉じる←

(2) 置き換えを利用して因数分解する (x2−5x)(x2−5x+10)+24のように同じ式x2−5xが２回以上登場するときは，この式を１文字に置き換えることによって「見やすく」「間違いにくく」なります． 【例2.1】　次の式を因数分解してください． (x2−5x)(x2−5x+10)+24 （解説） x2−5x=Aとおく （原式）=A(A+10)+24=A2+10A+24 =(A+4)(A+6) 置き換えたのは解答者の都合で，他の人は別の文字かもしれないから，元の文字に戻して答える =(x2−5x+4)(x2−5x+6) かっこの中がさらに因数分解できる =(x−1)(x−4)(x−2)(x−3)…（答） 上の【例2.1】のように初めから同じ式が含まれる場合だけでなく，次の例のように「うまく展開すれば同じ式が作れる」場合もあります． (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)をそのままの順で１番目と２番目，３番目と４番目のかっこを展開すると (x2+3x+2)(x2+7x+12) となって，同じ式は登場しませんが，組合せを変えて次のように展開すると同じ式が登場します． (x+1)(x+4)(x+2)(x+3) =(x2+5x+4)(x2+5x+6) 【例2.2】　次の式を因数分解してください． (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)−24 （解説） （原式）=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)−24 =(x2+5x+4)(x2+5x+6)−24 x2+5x=Aとおく （原式）=(A+4)(A+6)−24 =A2+10A+24−24=A2+10A=A(A+10) 元の文字に戻すと =(x2+5x)(x2+5x+10) =x(x+5)(x2+5x+10)…（答） ※x2+5x+10は虚数の係数を使わなければ因数分解できない．通常，特に指定がなければ，上の答案のように整数，分数の係数の範囲まで因数分解すればよい． 上の【例2.2】のように２次と１次の組x2+○xまでが２回登場する場合だけでなく，次の例のように「定数項との組が同じになる」場合もあります． (x+1)(x+2)(x+3)(x+6)をそのままの順で１番目と２番目，３番目と４番目のかっこを展開すると (x2+3x+2)(x2+9x+18) となって，同じ式は登場しませんが，組合せを変えて次のように展開すると同じ式が登場します． (x+1)(x+6)(x+2)(x+3) =(x2+7x+6)(x2+5x+6) =(x2+6+7x)(x2+6+5x) ※とにかく同じ式を作ると因数分解が有利になる …「どうしても同じ式を作りたい」と考えます →右上に続く

【例2.3】　次の式を因数分解してください． (x+1)(x+2)(x+3)(x+6)−3x2 （解説） （原式）=(x+1)(x+6)(x+2)(x+3)−3x2 =(x2+7x+6)(x2+5x+6)−3x2 x2+6=Aとおく （原式）=(A+7x)(A+5x)−3x2 =A2+12xA+35x2−3x2 =A2+12xA+32x2 =(A+4x)(A+8x) 元の文字に戻すと =(x2+6+4x)(x2+6+8x) =(x2+4x+6)(x2+8x+6)…（答） 【問題２】　次の各式を因数分解したとき空欄に入る式を下の選択肢から選んでください．（正しいものをクリック） （※暗算ではできません．各自計算用紙で計算してから選択肢を選んでください） (1) (x2+3x)(x2+3x−2)−8=オ(x+1)(x+2)(x+4) 解説 やり直す x x+1 x−1 x+3 x−3 x2+3x=Aとおく （原式）=A(A−2)−8=A2−2A−8 =(A+2)(A−4) 元の文字に戻すと =(x2+3x+2)(x2+3x−4) =(x+1)(x+2)(x+4)(x−1)…（答） →閉じる← (2) (x−2)(x−3)(x+4)(x+5)−44=(x2+2x−カ)(x2+2x−19) 解説 やり直す 1 2 3 4 5 6 次のように組み合わせて展開する (x−2)(x+4)·(x−3)(x+5)−44 =(x2+2x−8)(x2+2x−15)−44 x2+2x=Aとおく （原式）=(A−8)(A−15)−44=A2−23A+76 =(A−4)(A−19) 元の文字に戻すと =(x2+2x−4)(x2+2x−19)…（答） →閉じる← (3) (x−2)(x−3)(x+4)(x+6)+2x2=(x2+キ−12)(x2+3x−12) 解説 やり直す x 2x 3x 4x 5x 6x 次のように組み合わせて展開する (x−2)(x+6)·(x−3)(x+4)+2x2 =(x2+4x−12)(x2+x−12)+2x2 x2−12=Aとおく （原式）=(A+4x)(A+x)+2x2=A2+5xA+6x2 =(A+2x)(A+3x) 元の文字に戻すと =(x2+2x−12)(x2+3x−12)…（答） →閉じる←

(3) ３次式の因数分解公式を利用する 数学Ⅱで習う因数定理よりも前の段階（数学Ⅰ）に登場する３次の因数分解公式には，次のものがあります. x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2) x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2) x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx) 【例3.1】　次の式を因数分解してください． (x+2)3+(x−3)3−(2x−1)3 （解説） 初めの２項だけを組み合わせると2x−1という因数ができます (x+2)3+(x−3)3 ={(x+2)+(x−3)}{(x+2)2−(x+2)(x−3)+(x−3)2} =(2x−1){x2+4x+4−(x2−x−6)+(x2−6x+9)} =(2x−1)(x2−x+19) 次に全体を見ると2x−1が共通因数になっています （原式）=(2x−1)(x2−x+19)−(2x−1)3 =(2x−1){(x2−x+19)−(2x−1)2} =(2x−1)(x2−x+19−(4x2−4x+1)} =(2x−1)(−3x2+3x+18) =−3(2x−1)(x2−x−6) =−3(2x−1)(x−3)(x+2) 【例3.2】　次の式を因数分解してください． (x−y)3+(y−z)3−3(x−y)(y−z)(z−x) （解説） 最初の２項を組み合わせてx−zという因数を作り，第３項と共通因数x−zでくくり出てもできますが，やや長い答案になります． これに対して，次のように問題の式に(z−x)3を足しておくと右辺が０になりますので，移項すれば出来上がります． (x−y)3+(y−z)3+(z−x)3−3(x−y)(y−z)(z−x) =(x−y+y−z+z−x)(…)=0 を利用すると （原式）=−(z−x)3=(x−z)3…（答）

【問題３】　次の各式を因数分解したとき空欄に入る式を下の選択肢から選んでください．（正しいものをクリック） （※暗算ではできません．各自計算用紙で計算してから選択肢を選んでください） (1) (a+b+c)3−a3−b3−c3=ク(a+b)(b+c)(c+a) 解説 やり直す −3 −2 −1 1 2 3 aの式として展開整理すると （原式）=(a+(b+c))3−a3−b3−c3 =a3+3a2(b+c)+3a(b+c)2+(b+c)3−a3−b3−c3 =3a2(b+c)+3a(b+c)2+(b+c)3−b3−c3 =3a2(b+c)+3a(b+c)2+3b2c+3bc2 =3{a2(b+c)+a(b+c)2+bc(b+c)} =3(b+c){a2+a(b+c)+bc} =3(b+c)(a+b)(a+c) →閉じる← (2) (b−c)3+(c−a)3+(a−b)3=ケ(a−b)(b−c)(c−a) 解説 やり直す −3 −2 −1 1 2 3 (b−c)3+(c−a)3+(a−b)3−3(b−c)(c−a)(a−b) =(b−c+c−a+a−b)(···)=0 (···)の部分を計算しなくても，(b−c+c−a+a−b)=0 だから （原式）=3(b−c)(c−a)(a−b) →閉じる← (3) (x+y+z)3−(y+z−x)3−(z+x−y)3−(x+y−z)3=コxyz 解説 やり直す 3 6 12 24 36 60 y+z−x=a, x+y−z=b, z+x−y=cとおくとa+b+c=x+y+zになるから，(1)の結果が使える （原式）=3(b+c)(a+b)(a+c)=3(2x)(2y)(2z)=24xyz →閉じる←

(4) ○2−□2の形に持ち込む x4+x2+1のような式は複２次式と呼ばれ，x2=XとおくとX2+X+1という２次式になりますが，そこから先に進めない場合があります． このような場合に，○2−□2の変形を利用すると因数分解できることがあります． 【例4.1】　次の式を因数分解してください． x4+x2+1 （解説） x2=XとおいてもX2+X+1となって（有理数の範囲では）因数分解できませんが，この式を (x2+1)2−x2=(x2+x+1)(x2−x+1) と変形すれば２次式に因数分解できたことになります． 【要点】 　○2−□2の形に持ち込む 【問題４】　次の各式を因数分解したとき空欄に入る式を下の選択肢から選んでください．（正しいものをクリック） （※暗算ではできません．各自計算用紙で計算してから選択肢を選んでください） (1) x4+3x2+4=(x2+x+2)(x2−x+サ) 解説 やり直す 1 2 3 4 5 6 x4+3x2+4=(x2+2)2−x2と変形すると○2−□2の形になります． （原式）=(x2+2)2−x2 =(x2+x+2)(x2−x+2) →閉じる← →右上に続く

(2) (x2−y2)2−8(x2+y2)+16=シ(x+y−2)(x−y+2)(x−y−2) 解説 やり直す x+y+1 −x−y−1 x+y+2 −x−y−2 （原式）=(x2−y2−4)2+8(x2−y2)−8(x2+y2) この式を適当に展開すると，(x2−y2)2−8(x2−y2)+16+8(x2−y2)−8(x2+y2) =(x2−y2)2−8(x2+y2)+16 となって，原式に等しいことが分かります． =(x2−y2−4)2−16y2 =(x2−y2−4−4y)(x2−y2−4+4y) ={x2−(y+2)2}{x2−(y−2)2} =(x+y+2)(x−y−2)(x+y−2)(x−y+2) →閉じる← (3) x4+y4+z4−2x2y2−2y2z2−2z2x2 =ス(x+y−z)(x−y+z)(x−y−z) 解説 やり直す x+y+z −x−y−z x+y+2z −x−y−2z (x2+y2−z2)2=x4+y4+z4+2x2y2−2y2z2−2z2x2 だから （原式）=(x2+y2−z2)2−4x2y2 =(x2+y2+2xy−z2)(x2+y2−2xy−z2) ={(x+y)2−z2}{(x−y)2−z2} =(x+y+z)(x+y−z)(x−y+z)(x−y−z) →閉じる←

【類題と答】 　次の各式を因数分解してください． (1.1) 解説を読む （解答） 　文字のうちで，の次数が最低だからについて整理する． …（答）→解説を隠す← (1.2) 解説を読む （解答） ※初歩的なことであるが，この問題の式自体は因数分解できていないことに注意．（因数分解できていたら問題にならない） 因数分解と言えるためには，最も大きな区切りが積の形になっていなければならないが，この問題文では引き算になっているので，展開してから改めて因数分解する必要がある． 　どの文字についても２次式だから，どの文字について整理しても条件は同じ．とりあえずについて整理する． …（答） …（この形の方がよい） →解説を隠す←

(1.3) 解説を読む （解答） 　どの文字についても３次式だから，どの文字について整理しても条件は同じ．とりあえずについて整理する．（もちろんについて整理しても，最終的には同じ結果になる） 内では，は3次，は2次だから，とりあえずについて整理する． 内では，は2次，は1次だから，について整理する． （原式）…（答） →解説を隠す← (1.4) 解説を読む （解答） は2次，は1次だから，について整理する． 内では，とも2次だから，とりあえずについて整理する． ←文字係数のたすき掛け因数分解 （原式） …（答） →解説を隠す←

(2.1) 解説を読む （解答） とおく 元のに戻す …(答) →解説を隠す← (2.2) 解説を読む （解答） とおく 元のに戻す …(答) →解説を隠す←

(2.3) 解説を読む （解答） 同じものがあればとおいて置き換えると簡単になる．同じものがないときは「作る」 同じものが登場するように，組合せを替える とおく 元のに戻す …（答） ※特に断り書きがない問題では「有理数までの範囲の係数を使って」因数分解する．上記の答えを1次式まで因数分解すると，無理数や虚数の係数が必要になるから，これ以上は進まなくてもよい． …（不要） →解説を隠す← (2.4) 解説を読む （解答） 同じものが登場したら1文字に置き換える．想定外の箇所でも構わない！ とおく 元のに戻す …（答） →解説を隠す←

(3.1) 解説を読む （解答） …(答) →解説を隠す← (3.2) 解説を読む （解答） を利用すると，共通因数が作れる とおくと （原式） …(答) →解説を隠す←

(3.3) 解説を読む （解答） を利用すると，共通因数が作れる とおくと （原式） …（答） →解説を隠す← (3.4) 解説を読む （解答） を利用すると，共通因数が作れる とおくと また だから （原式） 内ではが1次だから，で整理する （原式）…（答） →解説を隠す←

(4.1) 解説を読む （解答） とが考えられるが は無理数の係数になるから，採用できない …（答） 特に断り書きがない限り，因数分解は有理数の範囲で（整数と分数までを使って）行うが，をこれ以上因数分解するととなるから，その前で止める． をこれ以上因数分解するととなるから，その前で止める． →解説を隠す← (4.2) 解説を読む （解答） とが考えられるが，は実係数で因数分解できないから，採用できない …（答） さらに因数分解すると虚数の係数が登場するから，ここで止める． →解説を隠す← このページの内容について，質問や間違いの指摘があるときは，下の「コメントを投稿」という文字をクリックしてください（↓↓）

(4.3) 解説を読む （解答） とが考えられるが，は虚数の係数が必要となるから，採用できない …（答） さらに因数分解すると虚数の係数が登場するから，ここで止める． →解説を隠す← (4.4) 解説を読む （解答） ここまでの問題と同様に2種類考えられるが，無理数の係数が登場する方は採用できない …（答） さらに因数分解すると無理数の係数が登場するから，ここで止める． →解説を隠す←