３次以上の因数分解
♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，３次以上の因数分解のバックアップファイルです．
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■３次以上の因数分解（例題→選択問題）
※ ３次以上の式の因数分解を行う強力な方法として「因数定理」があるが，これは数学IIで習う．数学Iではもっと簡単に「因数分解公式」「置き換え」などで因数分解できるものだけを扱う．

[I] 　　a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)
[II]　　a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
■証明するには右辺を展開してみるとよい．
　(a+b)(a2−ab+b2)
　=a3−a2b+ab2
　+a2b−ab2+b3
　=a3________+b3＝（左辺）
　（１次が＋）（２次の符号が交替）⇒（３次は両端だけ残る）
　(a−b)(a2+ab+b2)
　=a3+a2b+ab2
　−a2b−ab2−b3
　=a3________−b3＝（左辺）
　（１次の符号が交替）（２次の符号は一定）⇒（３次は両端だけ残る）
このように「中間項が消える」のは，一方の符号だけが交替で現われるためである．
他の例
　(x+1)(x3−x2+x−1)
　=x4−x3+x2−x
　+x3−x2+x−1
　=x4________−1
　(x−1)(x4+x3+x2+x+1)
　=x5+x4+x3+x2+x
　−x4−x3−x2−x−1
　=x5___________−1
注意すべきこと
[I] [II] の公式は (a+b)2=a2+2ab+b2 とは全く関係がない．
すなわち
a3−b3 ＃等しくない＃ (a−b)(a2+2ab+b2)
a3+b3 ＃等しくない＃ (a+b)(a2−2ab+b2)

[I] [II]の例
x3+8=x3+23=(x+2)(x2−2·x+22)=(x+2)(x2−2x+4)
8x3−27=(2x)3−33=(2x−3)(4x2+(2x)·3+32)
______=(2x−3)(4x2+6x+9)

問題1　次の式を因数分解せよ．　（正しいものを選べ．）

.
次の公式は教科書には登場しないが，入試ではよく出る．
[III] 　　a3+b3+c3−3abc
______=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)
■証明するには，まず (a+b)3 を作るとよい．
　a3+b3+c3−3abc
___=(a+b)3−3a2b−3ab2+c3−3abc
___=(a+b)3+c3−3a2b−3ab2−3abc
___={(a+b)+c}{(a+b)2−(a+b)c+c2}−3a2b−3ab2−3abc
___=(a+b+c)(a2+b2+c2+2ab−bc−ca)−3ab(a+b+c)
___=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)

[III]の例
x3+y3+1−3xy
___=(x+y+1)(x2+y2+1−xy−x−y)
x3−8y3+6xy+1=x3+(−2y)3+13−3·x·(−2y)·1
___=(x−2y+1)(x2+4y2+1+2xy+2y−x)
問題2　次の式を因数分解せよ．　（正しいものを選べ．）

.
[IV] 　　x2 , x4 , x6 ··· のようにx の偶数乗から成る式を複二次式という．
　複二次式は x2=A と「置き換え」ると因数分解しやすい
[IV]の例
x4+x2−6 の因数分解
____x2=A とおくと
____（原式）=A2+A−6=(A+3)(A−2)
____元の x に戻すと (x2+3)(x2−2) …（答）
x4−6x2+8 の因数分解
____x2=A とおくと
____（原式）=A2−6A+8=(A−2)(A−4)
____元の x に戻すと (x2−2)(x2−4)
※安心するのはまだ早い！ x2−4 は，さらに因数分解できる．
____(x2−2)(x+2)(x−2) …（答）
※ 考えようによっては，x2−2 も (x+)(x−) とも書けるが，通常「特に断り書きがなければ，係数は有理数（整数・分数）の範囲で因数分解する」ことになっているので上記の答案でよい．
問題3　次の式を因数分解せよ．
　（正しいものを選べ．）


.
[V]
　(x2+2x)2−2(x2+2x)−3 などのように「同じもの」が２回以上登場するときは，その同じものを A とおくと因数分解しやすい．
[IV]の例
(x2+2x)2−2(x2+2x)−3 の因数分解
____x2+2x=A とおくと
____（原式）=A2−2A−3=(A+1)(A−3)
____元の x に戻すと
____(x2+2x+1)(x2+2x−3)=(x+1)2(x+3)(x−1) …（答）

同じものがないときは「作る」
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)−8 の因数分解
（原式）=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)−8
=(x2+5x+4)(x2+5x+6)−8
x2+5x=A とおくと
(x2+5x+4)(x2+5x+6)−8
=(A+4)(A+6)−8=A2+10A+24−8=A2+10A+16
=(A+8)(A+2)
元の x に戻すと
(x2+5x+8)(x2+5x+2) …（答）
（※整数係数ではこれ以上因数分解できない．）
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問題4　次の式を因数分解せよ．
　（正しいものを選べ．）
※　途中計算は各自で左のように行うこと．


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