|
♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，展開公式の応用問題のバックアップファイルです． ♫♣ 元の教材が機器や通信トラブルで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません． • 指数法則 • 展開公式Ⅰ • 展開公式2 • 置き換えによる展開 • 展開の順序 • 展開公式の応用問題 • ２次式の因数分解 • 次数最低の文字で整理 • たすき掛け因数分解 • いろいろな因数分解 • ３次以上の因数分解 • 因数分解（応用問題） • 因数分解の入試問題 【問題１】 次の各式において空欄に入る値を下の選択肢から選んでください．（正しいものをクリック） （※暗算ではできません．各自計算用紙で計算してから選択肢を選んでください） 0 1 2 3 4 5
aの式として，b, cを定数とみなして展開すると
0
1
2
3
4
5(a+b+c)2+(b+c−a)2+(c+a−b)2+(a+b−c)2 =(a+(b+c))2+(a−(b+c))2+(a−(b−c)2+(a+(b−c))2 =a2+2(b+c)a+(b+c)2 +a2−2(b+c)a+(b+c)2 +a2−2(b−c)a+(b−c)2 +a2+2(b−c)a+(b−c)2 =4a2+2(b+c)2+2(b−c)2 =4a2+2{b2+2bc+c2+b2−2bc+c2} =4a2+2{2b2+2c2}=4(a2+b2+c2)
初めに次のように２つずつ組み合わせて展開します．
0
2
4
6
8
10{(a+b+c)(b+c−a)}{(c+a−b)(a+b−c)} ={(b+c)2−a2}{a2−(b−c)2} =−{a2−(b+c)2}{a2−(b−c)2} 次にaの式として展開すると =−[a4−{(b+c)2+(b−c)2}a2+(b+c)2(b−c)2] =−[a4−{2b2+2c2}a2+(b2−c2)2] =−[a4−2a2b2−2a2c2+b4+c4−2b2c2] =2(a2b2+b2c2+c2a2)−(a4+b4+c4)
aの式として展開すると
(a+b+c)3=a3+3a2(b+c)+3a(b+c)2+(b+c)3 −(a−(b+c))3=−a3+3a2(b+c)−3a(b+c)2+(b+c)3 (a−(b−c))3=a3−3a2(b−c)+3a(b−c)2−(b−c)3 (a+(b−c))3=a3+3a2(b−c)+3a(b−c)2+(b−c)3 これらを加えるとき，赤青緑黒で着色した項は消えるから 2a3+6a2(b+c)+6a(b−c)2+2(b+c)3 =2a3+6a2b+6a2c+6ab2−12abc+6ac2+2(b3+3b2c+3bc2+c3) =2(a3+b3+c3)+6(a2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b)−12abc |
【問題２】 x+y+z=a, xy+yz+zx=b, xyz=cとするとき次の空欄に入る値を下の選択肢から選んでください．（正しいものをクリック） （※暗算ではできません．各自計算用紙で計算してから選択肢を選んでください） 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5
次の因数分解公式を利用する場合：
0
1
2
3
4
5x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx) x3+y3+z3=3xyz+(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx) x3+y3+z3=3xyz+(x+y+z)((x+y+z)2−3(xy+yz+zx)) =3c+a3−3ab ※３次方程式の解と係数の関係を利用する場合： t3−at2+bt−c=0の解がx, y, zだから x3−ax2+bx−c=0…(*1) y3−ay2+by−c=0…(*2) z3−az2+bz−c=0…(*3) (*1)(*2)(*3)を辺々加えると x3+y3+z3 =a(x2+y2+z2)−b(x+y+z)+3c =a(a2−2b)−ba+3c=a3−3ab+3c
A2+B2+C2=(A+B+C)2−2(AB+BC+CA)…(*)
にA=x2, B=y2, C=z2を代入すると x4+y4+z4=(x2+y2+z2)2−2(x2y2+y2z2+z2x2) 右辺の前半には(1)の結果が使える． 右辺の後半には，(*)式においてA=xy, B=yz, C=zxを代入すると x2y2+y2z2+z2x2 =(xy+yz+zx)2−2(xy·yz+yz·zx+zx·xy) =(xy+yz+zx)2−2xyz(x+y+z) 以上から （与式）=(a2−2b)2−2(b2−2ca) =a4−4a2b+4b2−2b2+4ac =a4−4a2b+2b2+4ac ３次方程式の解と係数の関係を使う場合は： t3−at2+bt−c=0の解がx, y, zだから x3−ax2+bx−c=0…(*1) y3−ay2+by−c=0…(*2) z3−az2+bz−c=0…(*3) x4=ax3−bx2+cx…(**1) y4=ay3−by2+cy…(**2) z4=az3−bz2+cz…(**3) (**1)(**2)(**3)より x4+y4+z4=a(x3+y3+z3)−b(x2+y2+z2)+c(x+y+z) (1)(2)の結果を右辺に代入すると a(a3−3ab+3c)−b(a2−2b)+ca =a4−3a2b+3ac−a2b+2b2+ac =a4−4a2b+2b2+4ac |
|
【問題３】 x=a−b, y=b−c, z=c−aとするとき次の空欄に入る値を下の選択肢から選んでください．（正しいものをクリック） （※暗算ではできません．各自計算用紙で計算してから選択肢を選んでください） 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5
(1)の結果を使えば楽になります
0
1
2
3
4
5(x+y)2+(y+z)2+(z+x)2=(−z)2+(−x)2+(−y)2 =c2−2ca+a2+a2−2ab+b2+b2−2bc+c2 =2(a2+b2+c2)−2(ab+bc+ca)
(1)の結果を使えば楽になります
(x+y)3+(y+z)3+(z+x)3=(−z)3+(−x)3+(−y)3 x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx) だから x3+y3+z3=3xyz+(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx) x3+y3+z3=3xyz=3(a−b)(b−c)(c−a) したがって，（与式）=−(x3+y3+z3)=−3(a−b)(b−c)(c−a) |
【問題４】 x=b+c−a, y=c+a−b, z=a+b−cとするとき次の空欄に入る値を下の選択肢から選んでください．（正しいものをクリック） （※暗算ではできません．各自計算用紙で計算してから選択肢を選んでください） 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5
単純に展開してもできます
0
1
2
3
4
5x2+y2+z2 =a2+b2+c2−2ab−2ca+2bc +a2+b2+c2−2bc−2ab+2ca +a2+b2+c2−2bc−2ca+2ab =3(a2+b2+c2)−2(ab+bc+ca)
(1)(2)の結果を利用するとうまくできます
x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx) において x+y+z=(a+b+c) x2+y2+z2=3(a2+b2+c2)−2(ab+bc+ca) xy+yz+zx =(c+(b−a))(c−(b−a)) +(a+(b−c))(a−(b−c)) +(b+(a−c))(b−(a−c)) =c2−(b−a)2+a2−(b−c)2+b2−(a−c)2 =a2+b2+c2−{a2+b2−2ab+b2+c2−2bc+c2+a2−2ca} =2(ab+bc+ca)−(a2+b2+c2) したがって x2+y2+z2−xy−yz−zx =4(a2+b2+c2)−4(ab+bc+ca) 結局 x3+y3+z3−3xyz=(a+b+c){4(a2+b2+c2)−4(ab+bc+ca)} =4(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca) =4(a3+b3+c3−3abc) |
|
【追加問題】･･･次の各式を展開してください． （各自計算用紙で計算してから［解説を見る］をクリックして，解説・解答を読んでください．コンピュータによる採点はありません．）
(1)
［解説を見る］(x+2)(x−2)(x2+2x+4)(x2−2x+4)
(2)
［解説を見る］(x+1)3(x−1)3
(3)
［解説を見る］(x2+xy+y2)(x2−xy+y2)(x4−x2y2+y4)
初めの２つを先に展開する
(x2+xy+y2)(x2−xy+y2)={(x2+y2)2−(xy)2 =x4+2x2y2+y4−x2y2 =x4+x2y2+y4 （原式）=(x4+x2y2+y4)(x4−x2y2+y4) ={(x4+y4)2−(x2y2)2 =x8+2x4y4+y8−x4y4 =x8+x4y4+y8･･･（答）
このページの内容について，質問や間違いの指摘があるときは，下の「コメントを投稿」という文字をクリックしてください（↓↓）
|
(4)
［解説を見る］(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
同じものが登場するような組み合わせを考えます
(x+1)(x+4)=x2+5x+4 (x+2)(x+3)=x2+5x+6 x2+5x=Aとおくと （原式）=(A+4)(A+6)=A2+10A+24 =(x2+5x)2+10(x2+5x)+24 =x4+10x3+25x2+10x2+50x+24 =x4+10x3+35x2+50x+24･･･（答）
(5)
［解説を見る］(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)
同じものが登場するような組み合わせを考えます
(x+1)(x+6)=x2+6+7x (x+2)(x+3)=x2+6+5x x2+6=Aとおくと （原式）=(A+7x)(A+5x)=A2+12xA+35x2 =(x2+6)2+12x(x2+6)+35x2 =x4+12x2+36+12x3+72x+35x2 =x4+123+47x2+72x+36･･･（答）
(6)･･･やや難
［解説を見る］(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)+(a+b+c)(a−b+c)(a+b−c) +(a+b+c)(a+b−c)(−a+b+c)−(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)
a+b+c=S, −a+b+c=A, a−b+c=B, a+b−c=Cとおく
（原式）=SAB+SBC+SAC−ABC =SA(B+C)+BC(S−A) B+C=2a, S−A=2aだから （原式）=SA×2a+BC×2a=2a(SA+BC) SA=(b+c)2−a2=b2+2bc+c2−a2 BC=a2−(b−c)2=a2−b2+2bc−c2 SA+BC=4bc ゆえに，（原式）=2a×4bc=8abc･･･（答） |
0 件のコメント:
コメントを投稿