高校数学Ⅰ・数と式

展開公式2

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，整式の展開公式2のバックアップファイルです．
♫♣ 元の教材が機器や通信トラブルで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．

【目次】 • 数と式
• 指数法則
• 展開公式Ⅰ
• 展開公式2
• 置き換えによる展開
• 展開の順序
• 展開公式の応用問題
• ２次式の因数分解
• 次数最低の文字で整理
• たすき掛け因数分解
• いろいろな因数分解
• ３次以上の因数分解
• 因数分解（応用問題）
• 因数分解の入試問題

整式の展開公式2

【はじめに】

〇このページの内容の内で[I]～[IV]は中学校３年の復習です．（重要だから高校数学Ⅰの教科書にも再度掲載される）
〇 [VI]～[IX]の３次式は高校数学で新たに登場する．
△ ［前後の項目］内容が難しいと感じるときは，中学3年の教材を先に読んでください．

【教材の本文】
基本的な乗法公式（展開公式）

[I]　　(a+b)2=a2+2ab+b2
[II]　　(a−b)2=a2−2ab+b2
[III]　　(a+b)(a−b)=a2−b2

※　これらの公式のうち[I]～[IV]は中学校の復習となっているが，高校の数学 I でもう一度出てくる．公式は中学校と同じでも，扱い方が少し変るところがある．例えば，これらの公式を使った置き換えによる展開，因数分解などは普通に出てくる．
（証明）
[I]←　

「総当たり」になるように掛けていき，同類項 ab , ba をまとめて，2ab にする．　　　■続く→■

■→続き■
[II]←[I]
　「総当たりに」掛けていってもできるが，次のように[I]の公式を使って[II]を示すこともできる．
　(a−b)2=(a+(−b))2=a2+2a·(−b)+(−b)2=a2−2ab+b2

[III]←

※ ab の項が，符号が逆のものと消し合うところがポイント
※ 【この公式は重要】　an と bn だけでできている式はめったにないので，無理数の分母の有理化などにおいてこの式が重要になる．

雑種を含む		純系のみ
a2+ab+b2 a2+2ab+b2 a2− ab+b2 a2− 2ab+b2 例 $(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2$ $=5+ 2\sqrt{5}\cdot\sqrt{3}+ 3$ $=8+ 2\sqrt{15}$	比較 ⇔	a2−b2 例 $(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$ =5−3 =2

【問題１】　次の式を乗法公式を使って展開し，簡単にしてください．
（選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます）

(1)
$(ax+ by)^2$

解説やり直す

$a^2x^2+ b^2y^2$ $a^2x+ 2abxy+ b^2y$

$ax^2+ 2abxy+ by^2$ $a^2x^2+ 2abxy+ b^2y^2$

$(ax+ by)^2=(ax)^2+ 2(ax)(by)+ (by)^2$
$=a^2x^2+ 2abxy+ b^2y^2$ …（答）

→閉じる←

(2)
$(x+ y)^2+(x-y)^2$

解説やり直す

$2x^2$ $2x^2 + 2y^2$

$2x^2+ 4xy + 2y^2$ $2x^2+ 4xy$

$(x+ y)^2+(x-y)^2$
$=x^2+ 2xy+ y^2+ x^2-2xy+ y^2=2x^2+ 2y^2$ …（答）

→閉じる←

(3)
$(-2x-3y)^2$

解説やり直す

$-4x^2-6xy-9y^2$ $-4x^2-12xy-9y^2$

$4x^2+ 6xy+ 9y^2$ $4x^2+ 12xy+ 9y^2$

$(-2x-3y)^2=(-2x)^2+ 2(-2x)(-3y)+ (-3y)^2$
$=4x^2+ 12xy+ 9y^2$ …（答）
または $\{-(2x+ 3y)\}^2=(-1)^2(2x+ 3y)^2$
$=(2x)^2+ 2(2x)(3y)+ (3y)^2$
$=4x^2+ 12xy+ 9y^2$

→閉じる←

(4)
$(-ab+ 3c)(-ab-3c)$

解説やり直す

$a^2b^2+ 9c^2$ $a^2b^2-9c^2$

$-a^2b^2+ 9c^2$ $-a^2b^2-9c^2$

$\{(-ab)+ (3c)\}\{(-ab)-(3c)\}$
$=(-ab)^2-(3c)^2=a^2b^2-9c^2$ …（答）
または $\{-(ab-3c)\}\{-(ab+ 3c)\}$
$=(ab-3c)(ab+ 3c)=a^2b^2-9c^2$

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[IV]　　(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
[V]　　(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd

[IV]←
証明は展開すれば分かるので省略．ここでは次の点に注意したい．

(x+a)(x+b)=x2+和(a+b)x+積ab
例えば (x+5)(x+3)=x2+8x+15 などとする．
また，(x+5a)(x+3a)=x2+8ax+15a2 などとする．
さらに，(x+a+3)(x+a+2)=x2+(2a+5)x+(a2+5a+6) などとする．
[V]←
　この公式は「総当たりで全部掛ける」というのとあまり変らない．
　丸暗記しても，逆計算の因数分解ができるわけではない．あまりうれしくない公式．

【問題２】　次の式を乗法公式を使って展開し，簡単にしてください．
（選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます）

(1)
$(x+ 3y)(x-4y)$

解説やり直す

$x^2-x-12$ $x^2+ x-12$

$x^2-xy-12y^2$ $x^2+ xy-12y^2$

$(x+ 3y)(x-4y)=\{x+ (3y)\}\{x+(-4y)\}$
$=x^2+ \{3y+ (-4y)\}x+ (3y)(-4y)$
$=x^2-xy-12y^2$ …（答）

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(2)
$(3x+ 4y)(2x-5y)$

解説やり直す

$6x^2-7xy-20y^2$ $6x^2+ 7xy-20y^2$

$6x^2-14xy-20y^2$ $6x^2+ 14xy-20y^2$

$(3x+ 4y)(2x-5y)=\{3x+ (4y)\}\{2x+ (-5y)\}$
$=3\times 2x^2+ \{3\times (-5y)+ 4y\times 2\}x+ (4y)(-5y)$
$=6x^2-7xy-20y^2$ …（答）

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[VI]　　(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
[VII]　　(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3
[VIII]　(a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3
[IX]　　(a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3

[VI]←
(a+b)3=(a+b)(a+b)2
=(a+b)(a2+2ab+b2)
=a3+2a2b+ab2
____+a2b+2ab2+b3
=a3+3a2b+3ab2+b3
※　この係数 1 , 3 , 3 , 1 は右のような「パスカルの数三角形」で求められる．
[VII]←[VI]
(a+(−b))3=a3+3a2(− b)+3a(−b)2+(−b)3
(− b) が奇数回掛けられているところは符号がマイナスになることに注意すると
これは，a3−3a2b+3ab2−b3 に等しい．　　■続く→■

[VIII] [IX]←
※ 【この公式は重要】　an と bn だけでできている式はめったにない．

雑種を含む		純系のみ
a3+a2b+ab2+b3 a3+2a2b+2ab2+b3 a3+3a2b+3ab2+b3 a3−a2b−ab2+b3 a3−2a2b−2ab2+b3 a3−3a2b−3ab2+b3	比較 ⇔	a3+b3 a3−b3

※　a+b と a3+b3 の符号が同じ，a−b と a3−b3 の符号が同じ．
（「１次と２次は仲が悪い，１次と３次は仲がよい」「プラスとマイナスの積になっているときだけ雑種の項が消える．」など適当にこじつけて覚えておく．）

【問題３】　次の式を乗法公式を使って展開し，簡単にしてください．
（選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます）

(1)
$(x+ 2y)^3$

解説やり直す

$x^3+ 3x^2y+ 3xy^2+ y^3$

$x^3+ 3x^2y+ 3xy^2+ 8y^3$

$x^3+ 6x^2y+ 6xy^2+ 8y^3$

$x^3+ 6x^2y+ 12xy^2+ 8y^3$

$(x+ 2y)^3=x^3+ 3x^2(2y)+ 3x(2y)^2+ (2y)^3$
$=x^3+ 6x^2y+ 12xy^2+ 8y^3$ …（答）

→閉じる←

(2)
$(x+ y)^3+ (x-y)^3$

解説やり直す

$2x^3+ 6xy^2$

$2x^3+ 2y^3$

$-6x^2y-8y^3$

$2x^3+ 6x^2y+ 6xy^2+ 2y^3$

$(x+ y)^3+ (x-y)^3=x^3+ 3x^2y+ 3xy^2+ y^3$
$+ x^3-3x^2y+ 3xy^2-y^3$
$=2x^3+ 6xy^2$ …（答）

→閉じる←

(3)
$(x+ 2y)(x^2-2xy+ 4y^2)$

解説やり直す

$x^3+ 3x^2y + 3xy^2+ y^3$

$x^3+ 6x^2y + 12xy^2+ 8y^3$

$x^3+ 8y^3$

$x^3-8y^3$

$(x+ 2y)(x^2-2xy+ 4y^2)$
$=\{x+ (2y)\}\{x^2-x(2y)+ (2y)^2\}$
$=x^3+ (2y)^3=x^3+ 8y^3$ …（答）

→閉じる←

(4)
$(ab-c)(a^2b^2+ abc+ c^2)$

解説やり直す

$a^3b^3+ 3a^2b^2c + 3abc^2+ c^3$

$a^3b^3-3a^2b^2c + 3abc^2-c^3$

$a^3b^3+ c^3$

$a^3b^3-c^3$

$(ab-c)(a^2b^2+ abc+ c^2)$
$=a^3b^3-c^3$ …（答）

→閉じる←

※以下の空欄には半角（１バイト文字）数字を書き込んでください． ■問題４　次の式を展開せよ． [ 0問 / 全8問中] [採点する] [やり直す] [次の問題]
■問題５　次の式を展開せよ． [ 0問 / 全8問中] [採点する] [やり直す] [次の問題]
■問題６　次の式を展開せよ． [ 0問 / 全8問中] [採点する] [やり直す] [次の問題] このページの内容について，質問や間違いの指摘があるときは，下の「コメントを投稿」という文字をクリックして，コメントの投稿を書き込んでください（↓↓）

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