２次式の因数分解
♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，２次式の因数分解のバックアップファイルです．
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■２次式の因数分解（例題→選択問題）
※ [1]～[IV]の公式は中学校の復習となっているが，高校では「置き換え」による因数分解などやや高度なものも含まれている．

共通因数でくくる
[I]　　ma+mb=m(a+b)
[I]の例
(1)__________(2)
5x2y+20xy2=5(x2y+4xy2)=5xy(x+4y)
注意
　途中経過として(1)のような式を書くのは自由である（解答者が思いついた順序によっては xy(5x+20y) など他の形となる場合もあり得る）が，最終形は(2)の形にしなければならない．
　つまり，共通因数は全部くくり出さなければならず，最終形にまだ共通因数が残っているような形では正解とならない．
a+b のような「式が共通因数」となることもある．
(a+b)x2−(a+b)x=(a+b)(x2−x)=(a+b)x(x−1)

b−a=−(a−b) だから，次の式は共通因数でくくれる．
(a−b)x+(b−a)y=(a−b)x−(a−b)y=(a−b)(x−y)
一般に，引き算の順序が逆になっているものは「同じ因数で符号だけが逆」になる．　y−x=−(x−y) など
※共通因数でくくる変形は「公式を用いる因数分解よりも先に行う」方がよい．
例
そのままの形では○2−□2の形に見えないが，共通因数でくくると分かるもの
2x3−50x=2x(x2−25)=2x(x+5)(x−5)
問題1　次の式を因数分解せよ．　（正しいものを選べ）
• 選択肢をクリック（タップ）すれば採点結果と解説ボタンが表示されます．
• 見ているだけでは，採点結果も解説も表示されません． （以下の問題も同様です）
(1)　3x2−x
⇒　 2x ， 2x2 ， x(3x−1) ， 3x(x−1)

(2)　6ax2−3axy
⇒　 3(2ax2−axy) ， x(6ax−3ay)
______3a(2x2−xy) ， 3ax(2x−y) ， 6ax(x−y)

(3)　(a+2b)x−(a+2b)y
⇒　 (a+2b)(x+y) ， (a+2b)(x−y)
______(a−2b)(x+y) ， (a−2b)(x−y)

(4)　a(x−y)+y−x
⇒　 (x−y)(a+1) ， (x−y)(a−1)
______(y−x)(a+1) ， (y−x)(a−1)

.
[II]　　a2+2ab+b2=(a+b)2
[III]　　a2−2ab+b2=(a−b)2
[IV]　　a2−b2=(a+b)(a−b)
[II]の例
9x2+6x+1=(3x)2+2·(3x)·1+12=(3x+1)2
■　両端の式 3x , 1 を先に見ること．最後に中央の項がそれらの積の 2 倍になっていれば（　）の２乗としてよい．
■　前から順に見ていくと失敗することが多い．

[III]の例
4x2−12xy+9y2=(2x)2−2·(2x)·(3y)+(3y)2=(2x−3y)2

■　次のような式は，中央の項が両端として考える１次式の積の 2 倍になっていないので（　）の２乗とはならないので注意すること．
4x2−6xy+9y2
x2+x+1
[IV]の例
4x2−9y2=(2x)2−(3y)2=(2x+3y)(2x−3y)
3x2−12=3(x2−4)=3(x+2)(x−2)
■公式を考える前に共通因数でくくっておく．
問題2　次の式を因数分解せよ．　（正しいものを選べ．）
(1)　x2+8x+16
⇒　 (x+4)2 ， (x+12)2 ， (x+18)2 ， ２乗にならない

(2)　9x2−24xy+16y2
⇒　9(x+4y)2 ， 9(x−4y)2 ， ２乗にならない
______ (3x+4y)2 ， (3x−4y)2 ， (3x−8y)2

(3)　x2−2xy+4y2
⇒　 (x−2)2 ， (x−2y)2
______(x−4)2 ， (x−4y)2 ，２乗にならない


.
[V]　　x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
[V]の例
x2+5x+6=x2+(2+3)x+2·3=(x+2)(x+3)
■　このような問題では，
「最初に」２数の積が 6 になる組を考えること．
　　1と6の組，2と3の組　が考えられる．
「次に」それらのうちで２数の和が 5 になる組を採用する．
　　1と6の組 → 1+6=7 ×　，2と3の組 → 2+3=5　○
こうして，(x+2)(x+3) を答えにする．
※「最初に」２数の和が5になる組を考えると，いくらでもあるから絞りきれない．
x2−7x+12=x2+(−4−3)x+(−3)·(−4)=(x−3)(x−4)
■　積が正の数12で，和が負の数−7となる２数は「負の数」と「負の数」の組で探す．
x2+2x−15=x2+(−3+5)x+(−3)·(5)=(x−3)(x+5)
■　積が負の数−15となる２数は「負の数」と「正の数」の組で探す．
そのうちで，和が2となるのは「正の数」が強い方となる
問題3　次の式を因数分解せよ．　（正しいものを選べ．）
(1)　x2+14x+24
⇒　 (x+3)(x+8) ， (x+4)(x+6)
(x+2)(x+12) ， (x+2)(x+7)



.
【解説】
分数や無理数が係数になっているときでも，xの係数が和になり，定数項が積になるような２数を探せば同じようにできます．
例
の因数分解
（解答）
積がで
和がとなる２数は
とだから
の因数分解
（解答）
積がで，和がとなる２数は， とだから


【問題4】　次の式を因数分解せよ．　（正しいものを選べ．）
(1)　
⇒


(2)　
⇒


(3)　
⇒


(4)　
⇒


(5)　
⇒


(6)　
⇒


.
[VI]　　acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)

■この因数分解は「たすき掛け因数」と呼ばれるが，公式を暗記しても問題は解けない．次の例のように，２つずつ組み合わせて「中央の項」が一致するまで「いろいろ試してみる」しかない．
[VI]の例
2x2+5x+3
x2 の係数として，掛けて 2 になる組は 1 と 2 だから
(1x+…)(2x+…) の形になる．
定数項の部分は，掛けて 3 になる組は 1 と 3 だから
(…+1)(…+3) の形になる．
それらの組合せは，
　　(1x+3)(2x+1) …（ア） と
　　(1x+1)(2x+3) …（イ）
（ア）は，
　　···x2+(1·1+3·2)x+···=···x2+7x+··· になり，合わない
（イ）は，
　　···x2+(1·3+1·2)x+···=···x2+5x+··· になり，合う
（イ）より，(x+1)(2x+3) …（答）
■上の（ア）（イ）において x2 の係数と定数項は，「初めから合う組合せだけ」を使っているから，書かなくても合う．そこで「１次の係数」だけに集中してこれを合わせるようにする．

■これらのかけ算を縦書きで書くと次のようになる．ただし，２次，定数項，１次の順に書く．
■実際の計算は次のように書くので，「たすき掛け」因数分解と呼ぶ
■このように，考えられる組合わせを順に検討していき「１次の係数」が合ったとき「答」にする．
■これらの計算はすべて「１次の係数」が合うか合わないかを調べるためのものである．
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問題5　次の式を因数分解せよ．　（正しいものを選べ．）
※　途中計算は各自で左図のように行うこと．
(1)　5x2+7x−6
⇒　 (5x+3)(x−2) ， (5x−3)(x+2)
(5x+2)(x−3) ， (5x−2)(x+3)

(2)　6x2−13x−5
⇒　 (2x−1)(3x+5) ， (2x+1)(3x−5)
(2x+5)(3x−1) ， (2x−5)(3x+1)


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