♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，置き換えによる展開のバックアップファイルです． ♫♣ 元の教材が機器や通信トラブルで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません． 【目次】 • 数と式 • 指数法則 • 展開公式Ⅰ • 展開公式2 • 置き換えによる展開 • 展開の順序 • 展開公式の応用問題 • ２次式の因数分解 • 次数最低の文字で整理 • たすき掛け因数分解 • いろいろな因数分解 • ３次以上の因数分解 • 因数分解（応用問題） • 因数分解の入試問題 == 置き換えによる展開 == ○　置き換えによる展開とは 　同じ式が２回以上登場するとき，これらに名前を付けて１文字で表わすと，「見やすく」「間違いにくく」なる．ここでは２回以上登場する式を１文字で置き換えて展開の計算を行うことを考える． 例１ (a+b+c)2 のように３つ以上からなる項の２乗は，教科書の基本公式にないからと言って，(a+b+c)(a+b+c) に直して「総当たり」で展開していると大変 　これを a+b=A と置き換えると，(A+c)2 になり展開公式が使えて， (a+b+c)2 _____=(A+c)2 _____=A2+2Ac+c2 元に戻すと _____=(a+b)2+2(a+b)c+c2 _____=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 形を整えると _____=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca ※　置き換えに用いた文字 A は自分が付けた名前なので（他の人は別の名前をつけてもよいので），(a+b+c)2=A2+2Ac+c2 を答にしてはいけない．

※　慣れてくると，置き換える文字の代わりに　（　）を使って次のように変形することもできるが，「どれがよい」ということはない．「自分に分かりやすい＝間違いにくい」と思う方法でやればよい． (a+b+c)2 _____=(a+b)2+2(a+b)c+c2 _____=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 _____=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca ※　計算が多いので，１題解くだけなら「力まかせ・総当たり・単純計算主義」でバラバラにした方が速いと考える人がいるかもしれない．しかし，何題も解くときは，やはり置き換え方式が有利．さらに，バラバラにする方式では，展開の逆=因数分解（右辺を左辺に戻す）のときに見通しが立たなくなる． 「総当たりで」展開してもできないことはないが 次のような問題が幾つも登場すると困ってしまう･･･ (a−b+c)2 , (a−b−c)2 , (x2+x+2)2 , (x2−2x+5)2 ··· 　実は，次の展開はかなりよく登場するので「準公式」として覚えてしまうことが多い． 【準公式】　　(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca 　この立場に立つと，以下の問題は直ちに解決する． ・ (a−b+c)2=a2+(−b)2+c2+2·a·(−b)+2·(−b)·c+2ca _________=a2+b2+c2−2ab−2bc+2ca ・ (a+b−c)2 上の変形を見ていると知恵がついてきて，直ちに分かるようになる（符号と係数を変えるだけ） ________=a2+b2+c2+2ab−2bc−2ca ・ (a−b−c)2=a2+b2+c2−2ab+2bc−2ca 【要約】 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca (a−b+c)2=a2+b2+c2−2ab−2bc+2ca　(←bが－) (a+b−c)2=a2+b2+c2+2ab−2bc−2ca　(←cが－) (a−b−c)2=a2+b2+c2−2ab+2bc−2ca　(←b, cが－) 　(−a+b+c)2は(a−b−c)2と同じ 　(−a−b+c)2は(a+b−c)2と同じ 　(−a−b−c)2は(a+b+c)2と同じ ※a2+b2+c2−2ab−2bc−2caとなるものはない！ （そのわけ） −2ab → a, bは異符号 −2bc → b, cは異符号 を前提とすれば，a, cは同符号になる 　結果のまとめ方：上の例のように a → b → c → (a) のサイクルにして書くことが多い．それ以外はダメだいうことではないが，一定の規則で並べると「書く人も・読む人も」「見やすく・間違いにくい」． 　しりとりで一周させて ♪～「こぶた」→「たぬき」→「きつね」→「ねこ」 の順に並べるということ．

例２ 　(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) のように一見同じものがないように見える式でも（ x を A に置き換えても無駄 ） 工夫次第で同じ式が作れることがある． 　(x+1)(x+4)(x+2)(x+3) のように組み合わせると， 　(x2+5x+4)(x2+5x+6) になるので，x2+5x=A とおけば簡単に展開できる．

（２次と１次）の組を考える例 　　(x+1)(x+3)(x−5)(x−7) → x2−4x=A とおくと (A−5)(A−21) になり A2−26A+105 （２次と定数項）の組を考える例 　　(x+1)(x+2)(x+3)(x+6) → x2+6=A とおくと (A+7x)(A+5x) になり A2+12xA+35x2

■問題　次の式を展開せよ．== 半角数字（１バイト文字）で解答すること == ･･･　　♪♪浴びるほどやって得意ワザに入れる感じで♪♪ (1)　　(a−2b+3c)2 =a2+b2+c2−ab−bc+ca 採点するやり直す解説 (1)　準公式を利用 a2+(2b)2+(3c)2−2a(2b)−2(2b)(3c)+2(3c)a =a2+4b2+9c2−4ab−12bc+6ca	(2)　　(x+y+1)(x+y−2) =x2+y2+xy−x−y− 採点するやり直す解説 (2)　x+y=A と考えると { (x+y)+1 }{ (x+y)−2 } =(x+y)2−(x+y)−2=x2+2xy+y2−x−y−2
(3)　　(a−2b+3c)(a+2b+3c) =a2−b2+c2+ac 採点するやり直す解説 (3)　a+3c=A と考えると { (a+3c)−2b }{ (a+3c)+2b} =(a+3c)2−(2b)2=a2+6ac+9c2−4b2	(4)　　(x2+xy+y2)(x2−xy+y2)=x+xy+y 採点するやり直す解説 (4)　x2+y2=A と考えると { (x2+y2)+xy }{ (x2+y2)−xy} =(x2+y2)2−(xy)2=x4+x2y2+y4
(5)　　(x−1)(x+1)(x+3)(x+5) =x4+x3+x2−x− 採点するやり直す解説 (5)　x2+4x=A と考えると {(x−1)(x+5)}{(x+1)(x+3)} ={ (x2+4x)−5 }{ (x2+4x)+3} =(x2+4x)2−2(x2+4x)−15 =x4+8x3+16x2−2x2−8x−15 =x4+8x3+14x2−8x−15	(6)　　(x3−x2+x−1)(x3+x2−x+1) =x6−x4+x3−x2+x− 採点するやり直す解説 (6)　x2−x+1=A と考えると {x3−(x2−x+1) }{x3+(x2−x+1) } =x6−(x2−x+1)2 =x6−(x4+x2+1−2x3−2x+2x2) =x6−x4+2x3−3x2+2x−1

■追加問題■･･･次の各式を展開してください･･･各自で計算用紙を使って答えを出し，次の［解説を見る］をクリックして，解説・解答を確かめてください． 【問題2.1】 　(2x+3y−4z)2 ［解説を見る］ （原式）=4x2+9y2+16z2+12xy−24yz−16zx･･･（答） →解説を隠す← 【問題2.2】 　(−a+b−c)2 ［解説を見る］ （原式）=a2+b2+c2−2ab−2bc+2ca･･･（答） →解説を隠す←

【問題2.3】 　(2x−3y−z)2 ［解説を見る］ （原式）=4x2+9y2+z2−12xy+6yz−4zx･･･（答） →解説を隠す← 【問題2.4】 　(x2−2x+3)2 ［解説を見る］ x2−2x=Aとおくと （原式）=(A+3)2=A2+6A+9 苦労すれば，それだけ偉くなるとは限らない． ♪～「お目に留まれば元へと戻す．あらま不思議な玉手箱」～♪などと，つぶやく =(x2−2x)2+6(x2−2x)+9 =x4−4x3+4x2+6x2−12x+9 =x4−4x3+10x2−12x+9･･･（答） →解説を隠す←

【問題2.5】 　(x+y+2)(x+y−3) ［解説を見る］ x+y=Aとおくと （原式）=(A+2)(A−3)=A2−A−6 ♪～「お目に留まれば元へと戻す．･･･」～♪ =(x+y)2−(x+y)−6 =x2+2xy+y2−x−y−6･･･（答） →解説を隠す← 【問題2.6】 　(x2−3x+2)(x2−3x−1) ［解説を見る］ x2−3x=Aとおくと （原式）=(A+2)(A−1)=A2+A−2 ♪～「お目に留まれば元へと戻す．･･･」～♪ =(x2−3x)2+(x2−3x)−2 =x4−6x3+9x2+x2−3x−2 =x4−6x3+10x2−3x−2･･･（答） →解説を隠す←

【問題2.7】 　(x2−3x+2)(x2+x+2) ［解説を見る］ 順に並んでいなくても，同じ組があればAとおく x2+2=Aとおくと （原式）=(A−3x)(A+x)=A2−2xA−3x2 ♪～「お目に留まれば元へと戻す．･･･」～♪ =(x2+2)2−2x(x2+2)−3x2 =x4+4x2+4−2x3−4x−3x2 =x4−2x3+x2−4x+4･･･（答） →解説を隠す← 【問題2.8】 　(a−2b+3c)(a+2b−3c) ［解説を見る］ 符号だけ逆で，同じものがあればAとおく 2b−3c=Aとおくと （原式）=(a−A)(a+A)=a2−A2 ♪～「お目に留まれば元へと戻す．･･･」～♪ =a2−(2b−3c)2 =a2−4b2+12bc−9c2･･･（答） →解説を隠す←

【問題2.9】･･･やや難 　(a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)(a−b−c) ［解説を見る］ 符号だけ逆で，同じものがあればAとおく b+c=Aとおくと (a+b+c)(a−b−c)=(a+A)(a−A)=a2−A2 符号だけ逆で，同じものがあればBとおく b−c=Bとおくと (a−b+c)(a+b−c)=(a−B)(a+B)=a2−B2 （原式）=(a2−A2)(a2−B2) =a4−(A2+B2)a2+(AB)2 A2+B2=(b+c)2+(b−c)2 =b2+2bc+c2+b2−2bc+c2 =2b2+2c2 (AB)2={(b+c)(b−c)}2=(b2−c2)2 =b4−2b2c2+c4 （原式）=a4−(2b2+2c2)a2+(b4−2b2c2+c4) =a4+b4+c4−2a2b2−2b2c2−2c2a2･･･（答） →解説を隠す← 【問題2.10】･･･やさしい 　(a+b+c)2+(a−b+c)2+(a+b−c)2+(a−b−c)2 ［解説を見る］ 　(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca 　(a−b+c)2=a2+b2+c2−2ab−2bc+2ca 　(a+b−c)2=a2+b2+c2+2ab−2bc−2ca +)(a−b−c)2=a2+b2+c2−2ab+2bc−2ca （原式）=4a2+4b2+4c2･･･（答） →解説を隠す← このページの内容について，質問や間違いの指摘があるときは，下の「コメントを投稿」という文字をクリックしてください（↓↓）

【問題2.11】 　(x+y+z+w)(−x+y+z−w)+(x−y+z−w)(x+y−z−w) ［解説を見る］ 同じものがあれば1文字に置き換える y+z=A, x+w=Bとおくと (x+y+z+w)(−x+y+z−w)=(A+B)(A−B)=A2−B2 ♪～「お目に留まれば元へと戻す．･･･」～♪ =y2+2yz+z2−(x2+2xw+w2) 同じものがあれば1文字に置き換える x−w=C, y−z=Dとおくと (x−y+z−w)(x+y−z−w)=(C−D)(C+D)=C2−D2 ♪～「お目に留まれば元へと戻す．･･･」～♪ =x2−2xw+w2−(y2−2yz+z2) （原式）=y2+2yz+z2−x2−2xw−w2 　　　　+x2−2xw+w2−y2+2yz−z2 　　　　=4yz−4xw･･･（答） →解説を隠す← 【問題2.12】 　(a+b+c)(a−b−c)+(a−b+c)(a+b−c) ［解説を見る］ 同じものがあれば1文字に置き換える b+c=Aとおくと (a+b+c)(a−b−c)=(a+A)(a−A)=a2−A2 ♪～「お目に留まれば元へと戻す．･･･」～♪ =a2−(b2+2bc+c2) 同じものがあれば1文字に置き換える b−c=Bとおくと (a−b+c)(a+b−c)=(a−B)(a+B)=a2−B2 ♪～「お目に留まれば元へと戻す．･･･」～♪ =a2−(b2−2bc+c2) （原式）=a2−b2−2bc−c2 　　　　+a2−b2+2bc−c2 　　　　=2a2−2b2−2c2･･･（答） →解説を隠す←