高校数学Ⅰ・数と式

指数法則

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，指数法則のバックアップファイルです．
♫♣ 元の教材が機器や通信トラブルで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．

【目次】 • 数と式
• 指数法則
• 展開公式Ⅰ
• 展開公式2
• 置き換えによる展開
• 展開の順序
• 展開公式の応用問題
• ２次式の因数分解
• 次数最低の文字で整理
• たすき掛け因数分解
• いろいろな因数分解
• ３次以上の因数分解
• 因数分解（応用問題）
• 因数分解の入試問題

== 指数法則 ==

　この教材のレベルは，高等数学Ⅰの教科書のレベルです．応用的な内容を期待される方は，他のページを見てください．
　数学Ⅰを初めて学ぶ人や長年の空白期間の後に復習したい人など，初歩から学び直す読者を想定しています．

1.　指数法則

　このページで扱う指数法則は，指数m, nが正の整数の場合に限ります．mやnが，０，負の整数，分数などでも同じ形の指数法則が成り立ちますが，その解説は数学Ⅱの指数法則を見てください．

　nが正の整数のとき，文字 $a$ をn個掛けたものを $a$ のn乗といい， $a^n$ で表す．このとき，nを $a^n$ の指数という．
　 $a,\hspace{2}a^2,\hspace{2}a^3,\hspace{2}\cdots$ をまとめて $a$ の累乗という．

n個
$a^n=\overbrace{a\times a\times a\hspace{2}\cdots\hspace{2}a}$

【例】

2個3個
$a^2=\overbrace{a\times a},$ $a^3=\overbrace{a\times a\times a}$

4個
$a^4=\overbrace{a\times a\times a\times a},$

5個
$a^5=a\overbrace{\times a\times a\times a\times a}$

特に，指数を省略した場合， $a$ は
$a=a^1$

を表す．

【指数法則】
m, nが正の整数のとき
$a^ma^n=a^{m+ n}$ ･･･①
$(a^m)^n=a^{mn}$ ･･･②
$(ab)^n=a^{n}b^n$ ･･･③

（解説）
①←
この指数法則は
$a^m\times a^n=a^{m+ n}$ ･･･①
と書くこともできます．
【例】
$a^2\times a^3=a^{2+ 3}=a^5$
$a^3\times a^4=a^{3+ 4}=a^7$

【危険な落とし穴1】
次のような間違いに注意してください．

$a^2\times a^3\overset{\times\times}{\Longrightarrow}a^6$
指数の掛け算にはならない
$a^3\times a^4\overset{\times\times}{\Longrightarrow}a^{12}$
指数の掛け算にはならない

（①の証明）

m個
$a^m\times a^n=\overbrace{a\times\hspace{2}\cdots\hspace{2}\times a}$

n個
$\times\overbrace{a\times\hspace{2}\cdots\hspace{2}\times a}$

m+n個
$=\overbrace{a\times a\times\hspace{2}\cdots\hspace{2}\times a}$

$=a^{m+ n}$

このように， $a^m,\hspace{5}a^n$ を指数の定義にしたがって $a$ の積で表すと，合計m+n個の積になるから， $a^{m+ n}$ に等しくなる．

「 $a^m,\hspace{5}a^n$ を指数の定義にしたがって $a$ の積」に直して考えるという作業を一度はゆっくり確かめて置くことが重要です．この作業を飛ばして，公式の暗記だ！と急いでしまうと，「掛け算」に目が行って，短絡的な間違いが起こりやすくなります．

【危険な落とし穴2】
次のような間違いにも注意してください．
$a^2\times a^3\overset{\times\times}{\Longrightarrow}a^8$

（②の証明）←

n組

m個
$(a^m)^n=\overbrace{a\times\hspace{2}\cdots\hspace{2}\times a}$

m個
$\times\overbrace{a\times\hspace{2}\cdots\hspace{2}\times a}\times\cdot\cdot\cdot$

m個
$\times\overbrace{a\times\hspace{2}\cdots\hspace{2}\times a}$

m個の $a$ がn組あるから，合計m×n個の積になる．
$=a^{mn}$
【例】
$(a^2)^3=a^{2\times 3}=a^6$
$(a^3)^4=a^{3\times 4}=a^{12}$

【危険な落とし穴3】
特に指数計算の優先順位が指定されていない場合や指数計算を先に行うことが括弧によって明示されている場合は，指数を先に計算します
$a^{(2^{^3})}=a^8$
$a^2^{^3}=a^8$
これに対して，この指数法則では，底 $a$ の計算を先に行うことが明示されている
$(a^2)^3=(a\times a)\times(a\times a)\times(a\times a)=a^6$

【チャレンジ】･･･指数計算の勘を鍛える！
　0から9までの数字を3個を使って書ける一番大きな整数は幾らか？という問題がある．
(1) これに対して， $99^9$ と答えれば，18桁の整数（91京3517兆2474億8364万0899）になる．
(2) $(9^9)^9=9^{81}$ と答えれば，78桁の整数（19 6627 0504 7555 2913 6180 7590 8526 9121 1628 3103 4509 4421 4766 9273 1541 5537 9663 9119 6809）になる．
(3) $9^{99}$ と答えれば，95桁の整数（295 1266 5430 6527 5214 8753 4802 2619 7736 3143 5927 2517 0438 3288 6063 8846 3767 6943 4334 7802 0332 7094 1100 4889）になる．
(4) 最大になるのは $9^{9^9}=9^{(9^9)}$ ←指数の部分を先に計算する ⇒ $9^{387420489}$ は，369693100桁の整数になり，とてもこの欄には書き切れず，1秒間に5桁ずつ読み上げても，全部読むためには，2年と147日かかる（もちろん筆者は，読んでいない．）

（③の証明）←
n組

$(ab)^n=(ab)\times(ab)\times\hspace{2}\cdots\hspace{2}\times(ab)=a^nb^n$
【例】
$(ab)^3=a^3b^3$
$(2a)^4=2^4a^4=16a^4$

　次の式を計算してください．

【問1.1】
$a^4\times a^2$

(A) 割り算を含む計算

(B) 中学教科書レベルの計算

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